偽陽性悖論計算器

輸入計算

疾病盛行率（%）

檢測敏感度（%）

檢測特異度（%）

結果

檢測呈陽性後的罹病機率（PPV）

16.67%

陽性預測值

偽發現率	83.33%
真陽性（占總人口比例）	0.99%
偽陽性（占總人口比例）	4.95%

什麼是偽陽性悖論？

偽陽性悖論揭露了醫學檢測與篩檢中一個違反直覺的事實：當所篩檢的疾病本身相當罕見時，即使是準確率極高的檢測，也可能產生大量的假警報。這個計算器透過貝氏定理，幫你算出檢測呈陽性後實際上罹病的機率——也就是陽性預測值（PPV）。這個數字往往遠低於檢測標榜的「準確率」所給人的印象。

A population grid: with low prevalence, false positives can outnumber true positives even with an accurate test.

使用方法

請輸入三個百分比：盛行率（該疾病在受檢族群中有多普遍）、敏感度（患病者被驗出陽性的機率，即真陽性率），以及特異度（健康者被驗出陰性的機率，即真陰性率）。計算器會回傳「陽性結果為真」的機率，以及偽發現率。

公式解析

貝氏定理把「患病者驗出陽性的可能性」與「健康者被誤判為陽性的可能性」結合起來：

$$\text{PPV} = \frac{\text{Sens} \cdot \text{Prev}}{\text{Sens} \cdot \text{Prev} + (1 - \text{Spec})(1 - \text{Prev})} \times 100\%$$

分子是「既患病、又被正確標記為陽性」的人口比例；分母則加入了偽陽性——也就是被誤判為陽性的健康者。當盛行率極低時，這個偽陽性項就會主導整個結果。

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A probability tree showing how prevalence, sensitivity and specificity combine to produce true and false positives.

實例試算

假設某疾病的盛行率為 1%（盛行率 = 0.01），檢測的敏感度為 99%、特異度為 95%。真陽性 \(= 0.99 \times 0.01 = 0.0099\)；偽陽性 \(= 0.05 \times 0.99 = 0.0495\)。$$\text{PPV} = \frac{0.0099}{0.0099 + 0.0495} = \frac{0.0099}{0.0594} \approx 16.7\%$$所以即使檢測號稱「99% 準確」，每 6 個陽性結果中也只有約 1 個是真的。

常見問題

為什麼機率會這麼低？因為罕見疾病代表健康的人遠多於患病的人，即使偽陽性率再小，所產生的假警報數量還是會遠遠超過真陽性。

如何提高 PPV？針對高風險族群檢測（提高盛行率）、改用特異度更高的檢測，或以另一項獨立檢測來複驗確認。

這只適用於醫學檢測嗎？不只如此——同樣的貝氏邏輯也適用於垃圾郵件過濾、詐騙偵測、藥物篩檢，以及任何針對罕見事件的分類器。