Cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng tăng (hoặc giảm) thêm một lượng cố định, gọi là công sai \(d\). Bắt đầu từ số hạng đầu \(a_1\), mỗi số hạng tiếp theo được cộng thêm \(d\). Công cụ này giúp bạn tìm ngay số hạng thứ \(n\) (\(a_n\)) và tổng của \(n\) số hạng đầu tiên (\(S_n\)) chỉ từ ba giá trị nhập vào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số hạng đầu \(a_1\), công sai \(d\) (số dương cho dãy tăng, số âm cho dãy giảm) và vị trí số hạng \(n\) mà bạn muốn xét. Nhấn tính toán để xem giá trị của \(a_n\) cùng tổng tích lũy \(S_n\) của tất cả số hạng từ \(a_1\) đến \(a_n\).
Giải thích công thức
Số hạng thứ \(n\) được tính bằng công thức $$a_n = a_1 + (n - 1)d,$$ vì sau số hạng đầu ta cộng thêm công sai \((n - 1)\) lần. Tổng riêng phần dùng đến mẹo ghép cặp nổi tiếng của Gauss: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right),$$ tức là trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối nhân với số lượng số hạng.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(d = 3\) và \(n = 10\). Số hạng thứ 10 là $$a_n = 2 + (10 - 1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29.$$ Tổng của 10 số hạng đầu là $$S_n = \frac{10}{2}\times(2 + 29) = 5 \times 31 = 155.$$
So Sánh Cấp Số Cộng Trên Các Tình Huống Khác Nhau
Hai kết quả chính của một cấp số cộng là số hạng thứ n \(a_n = a_1 + (n-1)d\) và tổng riêng phần \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Bảng dưới đây áp dụng những công thức này cho một số tập hợp đầu vào thực tế, bao gồm cả công sai dương, công sai âm (giảm dần) và bước nhảy phân số.
| Số hạng đầu tiên \(a_1\) | Công sai \(d\) | Số hạng \(n\) | Số hạng thứ n \(a_n\) | Tổng \(S_n\) | Xem trước cấp số |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 8 | 19 | 96 | 5, 7, 9, …, 19 |
| 10 | -3 | 6 | -5 | 15 | 10, 7, 4, …, -5 |
| 0 | 0.5 | 20 | 9.5 | 95 | 0, 0.5, 1, …, 9.5 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 | 100, 90, 80, …, 0 |
| 1 | 1 | 100 | 100 | 5050 | 1, 2, 3, …, 100 |
Lưu ý rằng \(d\) âm tạo ra một cấp số giảm dần, và tổng vẫn có thể dương ngay cả khi các số hạng sau trở thành âm, miễn là những số hạng đầu lớn hơn chúng.
Các Thuật Ngữ và Biến Chính
- Số hạng đầu tiên \(a_1\)
- Giá trị bắt đầu của cấp số — giá trị tại vị trí \(n = 1\). Mỗi số hạng khác được xây dựng bằng cách liên tục thêm công sai vào nó.
- Công sai \(d\)
- Lượng cố định được cộng từ một số hạng này sang số hạng tiếp theo: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). \(d\) dương tạo ra cấp số tăng, \(d\) âm tạo ra cấp số giảm, và \(d = 0\) tạo ra cấp số không đổi.
- Số hạng thứ n \(a_n\)
- Giá trị của số hạng ở vị trí \(n\), tìm được trực tiếp với \(a_n = a_1 + (n-1)d\) mà không cần liệt kê từng số hạng trong giữa.
- Tổng riêng phần \(S_n\)
- Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên, \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Nó ghép số hạng đầu và số hạng cuối rồi nhân với số cặp.
- Vị trí của số hạng \(n\)
- Một chỉ số nguyên dương cho biết bạn muốn số hạng nào (thứ 1, thứ 2, thứ 3, …). Nó cũng bằng số lượng số hạng được cộng trong \(S_n\).
- Cấp số cộng và chuỗi cộng
- Một cấp số là danh sách có thứ tự của các số hạng (5, 7, 9, …); một chuỗi là những gì bạn nhận được khi cộng các số hạng đó với nhau. \(a_n\) mô tả cấp số, trong khi \(S_n\) là giá trị của chuỗi hữu hạn tương ứng.
Cách Tính Toán Bằng Tay
Sử dụng quy trình này để tìm cả số hạng thứ n và tổng từ ba đầu vào \(a_1\), \(d\) và \(n\). Chúng ta sẽ mang theo ví dụ \(a_1 = 5\), \(d = 2\), \(n = 8\) qua từng bước.
- Xác định \(a_1\), \(d\) và \(n\). Đọc số hạng đầu tiên, bước nhảy không đổi giữa các số hạng, và vị trí bạn cần. Ở đây \(a_1 = 5\), \(d = 2\) và \(n = 8\).
- Tính số hạng thứ n. Thay vào \(a_n = a_1 + (n-1)d\):
\(a_8 = 5 + (8 - 1)\times 2 = 5 + 7\times 2 = 5 + 14 = 19\). - Tính tổng riêng phần. Thay \(a_1\), \(a_n\) và \(n\) vào \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\):
\(S_8 = \frac{8}{2}(5 + 19) = 4 \times 24 = 96\). - Kiểm tra kết quả. Liệt kê các số hạng ta được 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 — số hạng cuối cùng là \(a_8 = 19\) và chúng cộng lại bằng 96, xác nhận \(S_8\).
Nếu bạn chỉ cần tổng và đã thích làm việc từ \(a_1\) và \(d\), dạng kết hợp \(S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)\) cho cùng một kết quả trong một dòng: \(S_8 = \frac{8}{2}(2\times 5 + 7\times 2) = 4(10 + 14) = 96\).
Câu hỏi thường gặp
Công sai \(d\) có thể âm không? Có. Công sai âm tạo ra một dãy giảm dần, và các công thức trên vẫn áp dụng chính xác.
\(S_n\) biểu thị điều gì? Đó là tổng của tất cả số hạng từ \(a_1\) cho đến \(a_n\) — một tổng riêng phần (hữu hạn), không phải là tổng của một chuỗi vô hạn.
Nếu \(n = 1\) thì sao? Khi đó \(a_n = a_1\) và \(S_n = a_1\), vì dãy chỉ có duy nhất một số hạng.
