Máy tính xác suất nhị thức là gì?
Công cụ này giúp bạn tính xác suất để có được đúng k lần thành công trong n phép thử độc lập, trong đó mỗi phép thử đều có cùng một xác suất thành công p. Nhiều tình huống quen thuộc đều tuân theo phân phối nhị thức: tung đồng xu một số lần cố định, đếm số sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hay thống kê số lần ném phạt thành công của một cầu thủ.
Cách sử dụng
Bạn hãy nhập số phép thử (n), số lần thành công mà bạn quan tâm (k) và xác suất thành công trong một lần thử (p, nằm trong khoảng từ 0 đến 1). Công cụ sẽ trả về xác suất chính xác \(P(X = k)\), hai giá trị xác suất lũy tích \(P(X \le k)\) và \(P(X \ge k)\), cùng với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của phân phối.
Giải thích công thức
Công thức xác suất nhị thức như sau:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$
Trong đó \(C(n,k)\) là hệ số nhị thức (số cách sắp xếp k lần thành công trong n phép thử), \(p^{k}\) là xác suất của k lần thành công đó, còn \((1 - p)^{n - k}\) là xác suất của n − k lần thất bại còn lại. Giá trị trung bình của phân phối là \(n \cdot p\) và độ lệch chuẩn là \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\).
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn tung một đồng xu cân đối 10 lần (n = 10, p = 0,5) và muốn biết xác suất để có đúng 3 lần ra mặt ngửa (k = 3). Ta có \(C(10,3) = 120\), nên $$P = 120 \cdot 0{,}5^{3} \cdot 0{,}5^{7} = 120 \cdot 0{,}0009765625 = 0{,}1171875$$ tức khoảng 11,7%.
Thêm các ví dụ làm việc
Mỗi ví dụ sử dụng công thức xác suất nhị thức \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\), trong đó \(n\) là số lần thử độc lập, \(p\) là xác suất thành công trên mỗi lần thử, và \(k\) là số lần thành công mà chúng ta quan tâm.
Ví dụ 1 — Các mục bị lỗi, P(X ≤ 2)
Một lô hàng có tỷ lệ lỗi \(p = 0,05\). Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm \(n = 20\) mục, xác suất là tối đa 2 mục bị lỗi là bao nhiêu? Chúng ta cần \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
- \(P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486\)
- \(P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354\)
- \(P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677\)
Lưu ý rằng \(\binom{20}{2} = 190\). Cộng ba số hạng lại:
$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$Vì vậy, có khoảng 0.188677 cơ hội có đúng 2 mục bị lỗi, và khoảng 92,5% cơ hội có 2 hay ít hơn bị lỗi. Phân phối có trung bình \(\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1\) mục bị lỗi và độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747\).
Ví dụ 2 — Ném lưới tự do, P(X ≥ 4)
Một cầu thủ ghi lưới tự do với xác suất \(p = 0,8\) và thực hiện \(n = 5\) cú ném. Xác suất ghi được ít nhất 4 lưới là bao nhiêu? Chúng ta cần \(P(X \ge 4) = P(4) + P(5)\).
- \(P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096\)
- \(P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768\)
Ở đây \(\binom{5}{4} = 5\) và \(\binom{5}{5} = 1\). Cộng lại:
$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$Cầu thủ ghi được ít nhất 4 trong 5 cú ném khoảng 73,7% thời gian. Số lưới dự kiến được ghi là \(\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4\) với độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944\). Kết quả có khả năng xảy ra nhất duy nhất là \(P(X = 4) = \)0.4096.
Ví dụ 3 — Phản hồi từ khảo sát, giá trị chính xác
Giả sử 30% mọi người \((p = 0.3)\) nhận ra một thương hiệu, và bạn khảo sát \(n = 10\) người. Xác suất để chính xác 3 người nhận ra nó là:
$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$Với \(\binom{10}{3} = 120\), kết quả là \(P(X=3) \approx\) 0.266828. Giá trị trung bình là \(\mu = np = 3\) người nhận ra, phù hợp với số lượng có khả năng xảy ra nhất, với \(\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449\).
Các thuật ngữ chính và biến số
| Ký hiệu / Thuật ngữ | Ý nghĩa |
|---|---|
| \(n\) — số lần thử | Tổng số lần lặp lại độc lập cố định của thí nghiệm (ví dụ: các mục được kiểm tra, các cú ném được thực hiện). Phải là một số nguyên không âm. |
| \(k\) — số lần thành công | Số lượng cụ thể của các kết quả thành công mà bạn muốn tính xác suất, với \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) — xác suất thành công | Xác suất thành công trên bất kỳ lần thử nào, giống nhau cho mỗi lần thử. Một giá trị từ 0 đến 1. |
| \(q = 1 - p\) — xác suất thất bại | Xác suất thất bại trên một lần thử. Vì mỗi lần thử là một thành công hoặc một thất bại, nên \(p + q = 1\). |
| \(\binom{n}{k}\) — hệ số nhị thức | Số cách khác nhau để chọn \(k\) lần thành công từ \(n\) lần thử, đọc là "n chọn k": \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). |
| \(P(X = k)\) — xác suất chính xác | Xác suất để có được chính xác \(k\) lần thành công: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\). |
| \(P(X \le k)\) — tích lũy (tối đa) | Xác suất \(k\) hoặc ít hơn lần thành công, là tổng \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\). |
| \(P(X \ge k)\) — tích lũy (ít nhất) | Xác suất \(k\) hoặc nhiều hơn lần thành công, bằng \(1 - P(X \le k-1)\). |
| \(\mu = np\) — giá trị trung bình | Số lần thành công kỳ vọng (trung bình) trong nhiều lần lặp lại thí nghiệm \(n\)-lần thử. |
| \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — độ lệch chuẩn | Một thước đo mức độ biến thiên của số lần thành công xung quanh giá trị trung bình. |
Giải thích kết quả của bạn
Máy tính xác suất nhị thức có thể trả lời ba câu hỏi liên quan nhưng khác nhau, và điều quan trọng là khớp kết quả đầu ra với câu hỏi bạn thực sự đặt ra.
- Xác suất chính xác, \(P(X = k)\): cơ hội để có được chính xác \(k\) lần thành công — không nhiều hơn, không ít hơn. Sử dụng cho các câu hỏi như "xác suất của chính xác 3 lỗi là bao nhiêu?" Vì nó xác định một kết quả duy nhất, giá trị này thường nhỏ hơn các xác suất tích lũy dưới đây.
- Tối đa, \(P(X \le k)\): cơ hội \(k\) hoặc ít hơn lần thành công. Nó cộng lại xác suất của \(0, 1, \dots, k\). Sử dụng cho cách diễn đạt "không nhiều hơn", "tối đa", hoặc "nhỏ hơn hoặc bằng".
- Ít nhất, \(P(X \ge k)\): cơ hội \(k\) hoặc nhiều hơn lần thành công. Một phương pháp tắt tiện lợi là \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\). Sử dụng cho cách diễn đạt "ít nhất", "không ít hơn", hoặc "tối thiểu".
Hãy chú ý kỹ đến ranh giới: "nhiều hơn \(k\)" có nghĩa là \(P(X \ge k+1)\), và "ít hơn \(k\)" có nghĩa là \(P(X \le k-1)\). Một từ duy nhất thay đổi những số hạng nào được cộng lại.
Giá trị trung bình \(\mu = np\) là số lần thành công kỳ vọng — số lượng trung bình dài hạn nếu bạn lặp lại toàn bộ thí nghiệm \(n\)-lần thử nhiều lần. Với \(n = 20\) mục ở \(p = 0.05\), bạn sẽ kỳ vọng \(\mu = 1\) lỗi trung bình, mặc dù bất kỳ mẫu nào có thể có 0, 1, 2 hoặc nhiều hơn. Giá trị trung bình cũng là (gần như) kết quả duy nhất có khả năng xảy ra nhất, vì vậy so sánh \(k\) của bạn với \(np\) cho bạn biết bạn đang hỏi về một kết quả điển hình hay một kết quả bất thường.
Độ lệch chuẩn \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) mô tả sự phân tán của các kết quả xung quanh giá trị trung bình. Hầu hết các kết quả nằm trong khoảng từ một đến hai độ lệch chuẩn của \(np\). Khi \(k\) nằm cách trung bình một vài độ lệch chuẩn, xác suất tương ứng là nhỏ, đó chính là lý do tại sao các sự kiện ở "đuôi" cảm thấy bất ngờ. Khi \(n\) lớn và \(p\) không quá gần 0 hoặc 1, phân phối nhị thức xấp xỉ bình thường với cùng giá trị trung bình và độ lệch chuẩn này, cho phép xấp xỉ đường cong bình thường cho các xác suất tích lũy.
Đây là thông tin thống kê chung để giúp bạn đọc kết quả đầu ra; luôn xác nhận rằng kịch bản của bạn đáp ứng các giả định nhị thức (một số lần thử độc lập cố định, hai kết quả trên mỗi lần thử, và xác suất thành công không đổi) trước khi dựa vào kết quả.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào tôi có thể dùng phân phối nhị thức? Khi bạn có một số phép thử độc lập cố định, mỗi phép thử chỉ cho hai kết quả (thành công/thất bại) và xác suất thành công không đổi.
\(P(X \ge k)\) có nghĩa là gì? Đó là xác suất có ít nhất k lần thành công — rất hữu ích cho những câu hỏi dạng "từ k trở lên".
p có thể lớn hơn 1 không? Không. Xác suất luôn phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1; các giá trị nằm ngoài khoảng này sẽ được giới hạn lại.
