卷积计算器能做什么
这款卷积计算器可以计算两个有限数列的离散卷积（discrete convolution）。卷积是信号处理、图像滤波、概率论以及多项式乘法中的核心运算。有了它，你不必再一项一项地手算求和——只需输入两个序列，工具便会立即返回合并后的输出序列。
如何使用
只需填写两个输入框：
- 第一个序列——你的输入信号或第一组数字，用英文逗号分隔（例如
1, 2, 3）。 - 第二个序列——你的第二个信号、卷积核或滤波器，同样用逗号分隔（例如
0, 1, 0.5）。
支持小数和负数。计算器会按逗号拆分每一项、去除多余空格，并在计算前将每一项转换为数值。
公式解析
离散卷积的定义如下：
$$(\text{Seq}_1 * \text{Seq}_2)[i] = \sum_{j=\max(0,\,i-m+1)}^{\min(i,\,n-1)} \text{Seq}_1[j]\cdot \text{Seq}_2[i-j]$$对于长度分别为 \(n\) 和 \(m\) 的两个有限序列，结果恰好包含 \(n + m - 1\) 个数值。每个输出值 \(y[i]\) 都是所有乘积 \(x[j]\cdot h[i-j]\) 之和（前提是下标都落在各自序列的有效范围内）。通俗地说，这个工具会让一个序列在另一个序列上不断滑动，对重叠的项相乘，并在每次平移时把它们加起来。
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实例演示
设第一个序列为 1, 2, 3，第二个序列为 0, 1, 0.5。此时 \(n = 3\)、\(m = 3\)，因此结果共有 \(3 + 3 - 1 = 5\) 个数值：
- \(y[0] = 1\cdot 0 = 0\)
- \(y[1] = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1\)
- \(y[2] = 1\cdot 0.5 + 2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2.5\)
- \(y[3] = 2\cdot 0.5 + 3\cdot 1 = 4\)
- \(y[4] = 3\cdot 0.5 = 1.5\)
所以输出结果为 0, 1, 2.5, 4, 1.5。
常见问题
输出序列有多长？始终等于第一个序列的长度加上第二个序列的长度再减一（\(n + m - 1\)）。
两个序列的先后顺序会影响结果吗？不会。卷积满足交换律，因此交换两个输入得到的结果序列完全相同。
可以用它来做多项式乘法吗？可以。如果把每个序列看作一个多项式的系数，那么卷积的输出就是它们乘积的系数——这不仅适用于信号处理，也是代数运算中的一个实用捷径。
