ماذا تفعل حاسبة الالتفاف؟
تقوم حاسبة الالتفاف (Convolution) هذه بحساب الالتفاف المتقطع بين متتاليتين منتهيتين من الأرقام. ويُعدّ الالتفاف عمليةً أساسية في معالجة الإشارات، وترشيح الصور، ونظرية الاحتمالات، وضرب كثيرات الحدود. وبدلاً من إجراء عمليات الجمع المتشعّبة يدوياً، ما عليك سوى إدخال المتتاليتين لتُرجِع لك الأداة المتتالية الناتجة في الحال.
طريقة الاستخدام
هناك حقلان للإدخال فقط:
- المتتالية الأولى — وهي إشارة الدخل أو مجموعة الأرقام الأولى، تُدخَل كقيم مفصولة بفواصل (مثال:
1, 2, 3). - المتتالية الثانية — وهي إشارتك الثانية أو النواة (Kernel) أو المرشّح (Filter)، وتُدخَل أيضاً مفصولةً بفواصل (مثال:
0, 1, 0.5).
الأداة تقبل الأرقام العشرية والأرقام السالبة. وهي تفصل كل مُدخَل عند الفواصل، وتزيل المسافات الزائدة، ثم تحوّل كل عنصر إلى رقم قبل حساب النتيجة.
شرح الصيغة الرياضية
يُعرَّف الالتفاف المتقطع بالعلاقة الآتية:
$$(\text{Seq}_1 * \text{Seq}_2)[i] = \sum_{j=\max(0,\,i-m+1)}^{\min(i,\,n-1)} \text{Seq}_1[j]\cdot \text{Seq}_2[i-j]$$
إذا كان طول المتتاليتين المنتهيتين هو n وm، فإن الناتج يحتوي على n + m − 1 قيمة بالضبط. وتمثّل كل قيمة ناتجة y[i] مجموع جميع الحواصل x[j] · h[i − j] التي تبقى فيها الفهارس ضمن نطاق المتتاليتين. وببساطة، تُزحلِق الأداة إحدى المتتاليتين فوق الأخرى، وتضرب الحدود المتداخلة، ثم تجمعها عند كل إزاحة.
مثال محلول
لنفترض أن المتتالية الأولى = 1, 2, 3 والمتتالية الثانية = 0, 1, 0.5. هنا n = 3 وm = 3، إذاً يحتوي الناتج على \(3 + 3 - 1 = 5\) قيم:
- \(y[0] = 1\cdot 0 = 0\)
- \(y[1] = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 = 1\)
- \(y[2] = 1\cdot 0.5 + 2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2.5\)
- \(y[3] = 2\cdot 0.5 + 3\cdot 1 = 4\)
- \(y[4] = 3\cdot 0.5 = 1.5\)
وبذلك يكون الناتج هو 0, 1, 2.5, 4, 1.5.
الأسئلة الشائعة
ما هو طول المتتالية الناتجة؟ إنه دائماً طول المتتالية الأولى زائد طول المتتالية الثانية ناقص واحد (n + m − 1).
هل يؤثّر ترتيب المتتاليتين في النتيجة؟ لا. فالالتفاف عملية تبديلية (Commutative)، أي أن تبديل مكان المُدخَلين يعطي المتتالية الناتجة نفسها.
هل يمكنني استخدامها لضرب كثيرات الحدود؟ نعم. إذا عاملتَ كل متتالية على أنها معاملات كثير حدود، فإن ناتج الالتفاف يمثّل معاملات حاصل ضربهما — وهي حيلة عملية في الجبر مثلما هي في الإشارات.
