ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة مساحة سطح الكرة اعتمادًا على قيمة واحدة فقط هي نصف القطر. الكرة هي النظير ثلاثي الأبعاد للدائرة، ومساحة سطحها تساوي تمامًا أربعة أضعاف مساحة الدائرة العظمى (\(\pi r^{2}\)) التي تمر عبر مركزها. وكمكافأة إضافية، تعرض الحاسبة كذلك قطر الكرة وحجمها، لتحصل على صورة هندسية متكاملة انطلاقًا من قياس واحد.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر (\(r\)) بأي وحدة تفضّلها — سنتيمترات، بوصات، أمتار، وما إلى ذلك. اضغط على زر الحساب لتحصل على مساحة السطح بالوحدات المربعة لنفس نظام القياس، إضافةً إلى القطر والحجم. وإذا كنت تعرف القطر فقط، فاقسمه على اثنين أولًا للحصول على نصف القطر.
شرح القانون
تُعطى مساحة سطح الكرة بالعلاقة التالية:
$$SA = 4\pi r^{2}$$
حيث \(\pi\) (باي) \(\approx 3.14159\)، و \(r\) هو نصف القطر. ويعكس المعامل 4 الكيفية التي «يغلّف» بها سطح الكرة أربعة أقراص مسطحة لها نفس نصف القطر. أما قانون الحجم المرتبط بها فهو \(V = \frac{4}{3}\pi r^{3}\).
مثال محلول
لنفترض أن لدينا كرة نصف قطرها 5 سم. عندئذٍ:
$$SA = 4 \times \pi \times 5^{2} = 4 \times \pi \times 25 = 100\pi \approx 314.16 \text{ سم}^{2}$$
ويكون قطرها 10 سم، وحجمها \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523.60\) سم³.
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي مساحة سطح الكرة \(4\pi r^{2}\)؟ يمكن اشتقاق هذه العلاقة باستخدام حساب التفاضل والتكامل (تكامل عناصر السطح)، وقد أثبتها أرخميدس لأول مرة حين بيّن أن مساحة سطح الكرة تساوي المساحة الجانبية للأسطوانة المحيطة بها.
ما الوحدات التي تظهر بها النتيجة؟ تظهر مساحة السطح بالوحدات المربعة لأي وحدة استخدمتها لنصف القطر — فإذا كان \(r\) بالأمتار، فإن المساحة تكون بالأمتار المربعة.
كيف أجد نصف القطر انطلاقًا من مساحة السطح؟ أعد ترتيب القانون كالتالي: \(r = \sqrt{\frac{SA}{4\pi}}\).
