¿Qué es la probabilidad binomial?
La probabilidad binomial indica la posibilidad de obtener exactamente k éxitos en un número fijo de n ensayos independientes, en los que cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p. Sirve para cualquier experimento de tipo "sí/no" que se repite en condiciones idénticas: lanzamientos de una moneda, tiros libres, piezas defectuosas en una línea de producción o respuestas a una encuesta.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de ensayos (n), el número de éxitos cuya probabilidad quieres conocer (k) y la probabilidad de éxito de cada ensayo (p) como un decimal entre 0 y 1. La calculadora te devuelve la probabilidad exacta \(P(X=k)\), ese mismo valor en porcentaje y el coeficiente binomial \(C(n,k)\) empleado en el cálculo.
La fórmula, paso a paso
La fórmula $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ consta de tres partes. \(C(n,k)\) cuenta cuántas formas distintas hay de distribuir k éxitos entre n ensayos. El término \(p^{k}\) es la probabilidad de que se produzcan esos k éxitos, y \((1-p)^{n-k}\) es la probabilidad de que los n−k ensayos restantes resulten todos en fracaso. Al multiplicarlos se obtiene la probabilidad total de ese número exacto de éxitos.
Ejemplo resuelto
Lanza una moneda equilibrada 10 veces (n=10, p=0,5). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 caras (k=4)? Como \(C(10,4) = 210\), tenemos $$P = 210 \times 0{,}5^{4} \times 0{,}5^{6} = 210 \times 0{,}5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0{,}2051,$$ es decir, alrededor del 20,51%.
Cómo Calcular la Probabilidad Binomial a Mano
Sigue estos pasos para evaluar \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) para cualquier entrada válida.
- Verifica que \(k \le n\). El número de éxitos \(k\) no puede exceder el número de ensayos \(n\), y ambos deben ser enteros no negativos. Si \(k > n\), la probabilidad es 0. También confirma que \(0 \le p \le 1\).
- Calcula el coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\). Usa \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Esto cuenta el número de formas distintas de organizar \(k\) éxitos entre \(n\) ensayos.
- Eleva \(p\) a la potencia \(k\). Calcula \(p^{k}\), la probabilidad de que ocurran \(k\) éxitos específicos.
- Eleva \((1-p)\) a la potencia \(n-k\). Calcula \((1-p)^{n-k}\), la probabilidad de que los restantes \(n-k\) ensayos sean todos fracasos. Recuerda que \(q = 1-p\).
- Multiplica los tres factores. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). El resultado es una probabilidad entre 0 y 1.
- Convierte a un porcentaje (opcional). Multiplica la probabilidad por 100 para expresarla como un porcentaje, por ejemplo \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
Verificación resuelta: para \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\): \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\), entonces \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (31.25%).
Términos y Variables Clave
| Símbolo | Nombre | Significado |
|---|---|---|
| \(n\) | Número de ensayos | El número fijo total de experimentos o intentos independientes. |
| \(k\) | Número de éxitos | El recuento exacto de resultados exitosos cuya probabilidad deseas; debe satisfacer \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) | Probabilidad de éxito | La probabilidad de que cualquier ensayo individual sea un éxito; \(0 \le p \le 1\). |
| \(q\) | Probabilidad de fracaso | La probabilidad de fracaso en un ensayo individual, \(q = 1 - p\). |
| \(\binom{n}{k}\) | Coeficiente binomial | El número de formas de elegir \(k\) éxitos de \(n\) ensayos, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); se lee "n elige k". |
Los Cuatro Supuestos Binomiales
El modelo binomial es válido solo cuando se cumplen las cuatro condiciones:
- Número fijo de ensayos. El valor de \(n\) se establece de antemano y no cambia.
- Dos resultados posibles. Cada ensayo resulta en exactamente uno de dos resultados, convencionalmente etiquetados como "éxito" y "fracaso".
- Probabilidad constante. La probabilidad de éxito \(p\) es la misma en cada ensayo.
- Ensayos independientes. El resultado de cualquier ensayo no afecta el resultado de ningún otro ensayo.
Cuando estos se cumplen, el recuento de éxitos \(X\) sigue una distribución binomial, escrita \(X \sim \text{Binomial}(n, p)\).
Preguntas frecuentes
¿Debo escribir p como decimal o como porcentaje? Usa un decimal: una probabilidad del 25% se introduce como 0,25.
¿Qué ocurre si k es mayor que n? Es imposible —no puedes tener más éxitos que ensayos—, así que la probabilidad es 0.
¿Cómo calculo P(X ≤ k) o P(X ≥ k)? Esta herramienta da la probabilidad de un valor exacto. Para las probabilidades acumuladas, suma \(P(X=i)\) en todo el rango de valores de i que te interese.
