À quoi sert ce calculateur
Cet outil vous indique la probabilité qu'une équipe ou un joueur remporte une série au meilleur des N (best-of-3, best-of-5, best-of-7, etc.) lorsque vous connaissez la probabilité de gagner un seul match. On l'utilise couramment pour les pronostics de playoffs sportifs, les brackets d'esport et tout affrontement en tête-à-tête où le premier camp à atteindre la majorité des victoires emporte la série.
Comment l'utiliser
Saisissez la probabilité que votre camp gagne un match donné sous forme de nombre décimal entre 0 et 1 (par exemple, 0,6 correspond à un avantage de 60 % par match). Indiquez ensuite la longueur de la série \(N\), qui doit être un nombre impair tel que 3, 5 ou 7. Le calculateur renvoie votre probabilité globale de remporter la série, le nombre de victoires nécessaires pour la conclure ainsi que la probabilité de votre adversaire.
La formule expliquée
Pour gagner une série au meilleur des N, vous devez atteindre \(w = \left\lfloor N/2 \right\rfloor + 1\) victoires. En considérant chaque match comme une épreuve de Bernoulli indépendante de probabilité de succès \(p\), la probabilité de remporter la série est la somme des probabilités binomiales de gagner \(k\) matchs, pour chaque \(k\) allant de \(w\) jusqu'à \(N\). Une version équivalente et plus simple à calculer fait appel à la loi binomiale négative : la \(w\)-ième victoire décisive tombe au match \(g\) avec une probabilité \(\binom{g-1}{w-1}\, p^{w}\,(1-p)^{g-w}\), sommée pour \(g\) allant de \(w\) à \(N\). Les deux expressions donnent le même résultat ; ce calculateur évalue la forme « victoire décisive ».
$$\begin{gathered} P_{\text{win}} = \sum_{g=w}^{N} \binom{g-1}{\,w-1\,}\, p^{\,w}\,(1-p)^{\,g-w} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} p &= \text{Win Prob. per Game} \\ N &= \text{Series Length} \\ w &= \left\lfloor \tfrac{N}{2} \right\rfloor + 1 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$Exemple chiffré
Supposons \(p = 0{,}5\) dans une série au meilleur des 3, donc \(w = 2\). La série se gagne avec 2 victoires sur 3 matchs au maximum.
$$P = \binom{1}{1}(0{,}5)^2 + \binom{2}{1}(0{,}5)^2(0{,}5)^1 = 0{,}25 + 2 \times 0{,}125 = 0{,}5$$Avec un duel parfaitement équilibré, la probabilité de remporter la série est elle aussi de 50 %, comme on pouvait s'y attendre.
FAQ
Pourquoi N doit-il être impair ? Une série au meilleur des N avec un \(N\) impair ne peut pas se terminer par une égalité : exactement un camp atteint la majorité. Les valeurs paires peuvent aboutir à un match nul, situation que ce modèle ne gère pas.
Suppose-t-on que chaque match est indépendant ? Oui. On part du principe d'une probabilité de victoire constante par match, sans effet d'avantage à domicile, de fatigue ou d'élan.
Puis-je l'utiliser pour un seul match ? Oui. Réglez \(N = 1\) et la probabilité de la série est tout simplement égale à votre probabilité par match \(p\).
