ماذا تفعل هذه الحاسبة
تخبرك هذه الأداة بمدى احتمال فوز فريق أو لاعب بسلسلة من نوع «أفضل من N مباراة» (أفضل من 3، أفضل من 5، أفضل من 7، وهكذا) عندما تعرف احتمال الفوز بمباراة واحدة. وهي شائعة الاستخدام في توقعات الأدوار الإقصائية الرياضية، وجداول بطولات الرياضات الإلكترونية، وأي منافسة ثنائية يحسم فيها السلسلةَ أولُ طرف يبلغ غالبية الانتصارات.
طريقة الاستخدام
أدخل احتمال فوز طرفك بمباراة واحدة كعدد عشري بين 0 و1 (مثلًا 0.6 تعني أفضلية بنسبة 60% في كل مباراة). ثم أدخل طول السلسلة \(N\)، ويجب أن يكون عددًا فرديًا مثل 3 أو 5 أو 7. تعرض لك الحاسبة احتمالك الإجمالي للفوز بالسلسلة، وعدد الانتصارات اللازمة لحسمها، واحتمال فوز منافسك.
شرح المعادلة
لكي تفوز بسلسلة أفضل من N مباراة عليك بلوغ \(w = \lfloor N/2 \rfloor + 1\) من الانتصارات. وباعتبار كل مباراة تجربة برنولي مستقلة باحتمال نجاح \(p\)، فإن احتمال الفوز بالسلسلة هو مجموع الاحتمالات ذات الحدين للفوز بـ \(k\) مباراة لكل قيمة \(k\) من \(w\) حتى \(N\). وهناك صيغة مكافئة وأنظف حسابيًا تعتمد على التوزيع ذي الحدين السالب: الانتصار الحاسم رقم \(w\) يقع في المباراة \(g\) باحتمال $$P_{\text{win}} = \sum_{g=w}^{N} \binom{g-1}{\,w-1\,}\, p^{\,w}\,(1-p)^{\,g-w}$$ مجموعًا عبر \(g\) من \(w\) إلى \(N\). تعطي الصيغتان النتيجة نفسها، وتعتمد هذه الحاسبة على صيغة الحسم.
مثال تطبيقي
افترض أن \(p = 0.5\) في سلسلة أفضل من 3 مباريات، إذن \(w = 2\). تُحسم السلسلة بالفوز بمباراتين من أصل 3 على الأكثر. $$P = \binom{1}{1}(0.5)^2 + \binom{2}{1}(0.5)^2(0.5)^1 = 0.25 + 2 \times 0.125 = 0.5$$ وبما أن الطرفين متكافئان فإن احتمال السلسلة أيضًا 50% كما هو متوقع.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون N عددًا فرديًا؟ سلسلة أفضل من N مباراة بقيمة فردية لا يمكن أن تنتهي بالتعادل، فيبلغ طرف واحد بالضبط حد الغالبية. أما القيم الزوجية فقد تترك الباب مفتوحًا للتعادل، وهو ما لا يتعامل معه هذا النموذج.
هل تفترض أن كل مباراة مستقلة؟ نعم. تفترض احتمال فوز ثابتًا في كل مباراة دون مراعاة أرض الملعب أو الإرهاق أو تأثير الزخم.
هل أستطيع استخدامها لمباراة واحدة؟ نعم. اضبط \(N = 1\) فيصبح احتمال السلسلة مساويًا تمامًا لاحتمال فوزك بالمباراة الواحدة \(p\).
