द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर P(X=k)

परीक्षण (n)	5
सफलताएँ (k)	3
संचय C(n,k)	10

द्विपद प्रायिकता क्या है?

द्विपद प्रायिकता यह बताती है कि n निश्चित और स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k सफलताएँ मिलने की कितनी संभावना है, जबकि हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता समान p रहती है। यह किसी भी ऐसे "हाँ/नहीं" प्रयोग पर लागू होती है जो एक जैसी परिस्थितियों में बार-बार दोहराया जाता है — जैसे सिक्का उछालना, फ्री-थ्रो के प्रयास, उत्पादन लाइन पर खराब वस्तुएँ, या सर्वेक्षण के उत्तर।

द्विपद प्रायिकता बंटन का बार चार्ट जिसमें एक बार उजागर है — द्विपद बंटन प्रत्येक संभावित सफलताओं की संख्या की प्रायिकता दर्शाता है, जिसमें $P(X=k)$ को उजागर किया गया है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

परीक्षणों की संख्या ($n$), जितनी सफलताओं की प्रायिकता आप जानना चाहते हैं वह संख्या ($k$), और प्रति-परीक्षण सफलता की प्रायिकता ($p$) को 0 और 1 के बीच दशमलव के रूप में दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको सटीक प्रायिकता $P(X=k)$, उसी मान को प्रतिशत के रूप में, और गणना में प्रयुक्त द्विपद गुणांक $C(n,k)$ दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

सूत्र $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ के तीन हिस्से हैं। $C(n,k)$ यह गिनता है कि $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताओं को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। पद $p^{k}$ उन $k$ सफलताओं के घटित होने की प्रायिकता है, और $(1-p)^{n-k}$ शेष $n-k$ परीक्षणों के विफल रहने की प्रायिकता है। इन तीनों को गुणा करने पर उस सटीक संख्या के लिए कुल प्रायिकता मिल जाती है।

द्विपद सूत्र को उसके तीन भागों में विभाजित करने वाला आरेख — यह सूत्र $k$ सफलताएँ पाने के तरीकों की संख्या को सफलता और विफलता की प्रायिकताओं के साथ जोड़ता है।

हल किया गया उदाहरण

एक निष्पक्ष सिक्के को 10 बार उछालें ($n=10$, $p=0.5$)। ठीक 4 बार हेड आने ($k=4$) की प्रायिकता क्या है? $C(10,4) = 210$, इसलिए $$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = 210 / 1024 \approx 0.2051$$ यानी लगभग 20.51%।

हाथ से द्विपद संभाव्यता की गणना कैसे करें

किसी भी वैध इनपुट के लिए $P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}$ का मूल्यांकन करने के लिए इन चरणों का पालन करें।

$k \le n$ को सत्यापित करें। सफलताओं की संख्या $k$ परीक्षणों की संख्या $n$ से अधिक नहीं हो सकती, और दोनों गैर-नकारात्मक पूर्णांक होने चाहिए। यदि $k > n$, तो संभाव्यता 0 है। यह भी सुनिश्चित करें कि $0 \le p \le 1$।
द्विपद गुणांक $\binom{n}{k}$ की गणना करें। $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ का उपयोग करें। यह $n$ परीक्षणों के बीच $k$ सफलताओं को व्यवस्थित करने के अलग-अलग तरीकों की संख्या गिनता है।
$p$ को घात $k$ तक बढ़ाएँ। $p^{k}$ की गणना करें, जो $k$ विशिष्ट सफलताओं के घटित होने की संभाव्यता है।
$(1-p)$ को घात $n-k$ तक बढ़ाएँ। $(1-p)^{n-k}$ की गणना करें, जो शेष $n-k$ परीक्षणों के सभी विफलताओं होने की संभाव्यता है। याद रखें कि $q = 1-p$।
तीनों कारकों को गुणा करें। $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}$। परिणाम 0 और 1 के बीच एक संभाव्यता है।
प्रतिशत में परिवर्तित करें (वैकल्पिक)। संभाव्यता को 100 से गुणा करें इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, जैसे $0.31146 \times 100 = 31.15\%$।

कार्य की जाँच: $n=5,\,k=3,\,p=0.5$ के लिए: $\binom{5}{3}=10$, $0.5^{3}=0.125$, $0.5^{2}=0.25$, इसलिए $P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = $ 0.3125 (31.25%)।

मुख्य शब्द और चर

प्रतीक	नाम	अर्थ
$n$	परीक्षणों की संख्या	स्वतंत्र प्रयोगों या प्रयासों की निर्धारित कुल संख्या।
$k$	सफलताओं की संख्या	सफल परिणामों की सटीक गणना जिसकी संभाव्यता आप चाहते हैं; $0 \le k \le n$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$p$	सफलता की संभाव्यता	वह संभाव्यता कि कोई एकल परीक्षण सफल है; $0 \le p \le 1$।
$q$	विफलता की संभाव्यता	एकल परीक्षण पर विफलता की संभाव्यता, $q = 1 - p$।
$\binom{n}{k}$	द्विपद गुणांक	$n$ परीक्षणों से $k$ सफलताओं को चुनने के तरीकों की संख्या, $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$; "n चुनें k" पढ़ें।

चार द्विपद मान्यताएँ

द्विपद मॉडल तभी मान्य है जब सभी चार शर्तें पूरी हों:

परीक्षणों की निश्चित संख्या। $n$ का मान पहले से निर्धारित है और नहीं बदलता।
दो संभावित परिणाम। प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप दो परिणामों में से ठीक एक, जिसे परंपरागत रूप से "सफलता" और "विफलता" कहा जाता है।
स्थिर संभाव्यता। सफलता की संभाव्यता $p$ हर परीक्षण पर समान है।
स्वतंत्र परीक्षण। किसी एक परीक्षण का परिणाम किसी अन्य परीक्षण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता।

जब ये धारण करते हैं, तो सफलताओं की गणना $X$ एक द्विपद वितरण का अनुसरण करती है, जिसे $X \sim \text{द्विपद}(n, p)$ लिखा जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या p को दशमलव में दर्ज करूँ या प्रतिशत में? दशमलव का उपयोग करें: 25% की संभावना को 0.25 के रूप में दर्ज करें।

अगर k, n से बड़ा हो तो क्या होगा? यह असंभव है — परीक्षणों से अधिक सफलताएँ नहीं हो सकतीं — इसलिए प्रायिकता 0 होगी।

$P(X \le k)$ या $P(X \ge k)$ कैसे निकालें? यह टूल किसी एक सटीक मान की प्रायिकता देता है। संचयी (cumulative) प्रायिकताओं के लिए, संबंधित $i$ की सीमा में सभी $P(X=i)$ को जोड़ें।

द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर P(X=k)

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