द्विघात शीर्ष (Vertex) निर्देशांक कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

परिणाम

शीर्ष के निर्देशांक

(3, -4)

शीर्ष (h, k)

h = -b / (2a)	3
k = c - b² / (4a)	-4

द्विघात शीर्ष कैलकुलेटर क्या है?

मानक रूप में लिखा गया हर द्विघात फलन, यानी \(y = ax^2 + bx + c\), एक परवलय (parabola) बनाता है। इस परवलय का शीर्ष (vertex) वह मोड़ बिंदु होता है जहाँ वक्र दिशा बदलता है — जब a धनात्मक हो तो यह सबसे निचला बिंदु होता है, और जब a ऋणात्मक हो तो यह सबसे ऊँचा बिंदु। यह कैलकुलेटर सीधे गुणांक a, b और c से शीर्ष के निर्देशांक (h, k) निकाल देता है, ताकि आपको हाथ से वर्ग पूरा (completing the square) करने की ज़रूरत न पड़े।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण के तीनों गुणांक दर्ज करें। उदाहरण के लिए \(y = x^2 - 6x + 5\) में \(a = 1\), \(b = -6\) और \(c = 5\) रखें। "Calculate" दबाते ही टूल आपको क्रमित युग्म (h, k) दे देगा। ध्यान रहे कि a शून्य नहीं होना चाहिए — अगर \(a = 0\) हो तो समीकरण रैखिक (linear) हो जाता है, द्विघात नहीं, और तब कोई परवलय ही नहीं बनता।

सूत्र को समझें

शीर्ष का x-निर्देशांक ठीक सममिति अक्ष (axis of symmetry) पर पड़ता है, जो \(h = -\frac{b}{2a}\) से मिलता है। इस मान को वापस समीकरण में रखकर सरल करने पर \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) प्राप्त होता है। ये दोनों मिलकर शीर्ष रूप $$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$ \(y = a(x - h)^2 + k\) देते हैं, जिससे ग्राफ बनाना, अधिकतम या न्यूनतम मान निकालना और अनुकूलन (optimization) की समस्याएँ हल करना बहुत आसान हो जाता है।

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शीर्ष (h, k) परवलय का मोड़ बिंदु है, जहाँ \(h = -\frac{b}{2a}\) इसकी x-स्थिति देता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(y = 2x^2 + 8x + 3\)। यहाँ \(a = 2\), \(b = 8\), \(c = 3\) है। तब $$h = -\frac{8}{2\times 2} = -2$$ और $$k = 3 - \frac{8^2}{4\times 2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5$$ तो शीर्ष है (-2, -5), और चूँकि a धनात्मक है, यह न्यूनतम बिंदु है।

जब a धनात्मक होता है तो शीर्ष न्यूनतम होता है; जब a ऋणात्मक होता है तो यह अधिकतम होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

क्या शीर्ष हमेशा न्यूनतम बिंदु होता है? नहीं। अगर \(a > 0\) हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है और शीर्ष न्यूनतम बिंदु होता है; अगर \(a < 0\) हो तो यह नीचे की ओर खुलता है और शीर्ष अधिकतम बिंदु होता है।

सममिति अक्ष क्या होती है? यह ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = h\) होती है, जो शीर्ष से होकर गुज़रती है और परवलय के दोनों हिस्सों को एक-दूसरे का दर्पण-प्रतिबिंब बनाती है।

अगर a शून्य हो तो? तब समीकरण द्विघात नहीं रहता, इसलिए कोई शीर्ष नहीं होता। ऐसे में कैलकुलेटर इसे अमान्य इनपुट के रूप में दर्शा देता है।