Calculateur des coordonnées du sommet d'une fonction quadratique

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Coefficient a

Coefficient b

Coefficient c

Résultats

Coordonnées du sommet

(3, -4)

sommet (h, k)

h = -b / (2a)	3
k = c - b² / (4a)	-4

Qu'est-ce que le calculateur du sommet d'une parabole ?

Toute fonction du second degré écrite sous sa forme développée, \(y = ax^2 + bx + c\), dessine une parabole. Le sommet correspond au point où la courbe change de sens : c'est le point le plus bas lorsque \(a\) est positif, ou le point le plus haut lorsque \(a\) est négatif. Ce calculateur détermine directement les coordonnées du sommet \((h, k)\) à partir des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) — inutile donc de passer par la mise sous forme canonique à la main.

Comment l'utiliser

Saisissez les trois coefficients de votre équation. Pour \(y = x^2 - 6x + 5\), indiquez \(a = 1\), \(b = -6\) et \(c = 5\). Cliquez sur « Calculer » et l'outil affiche le couple ordonné \((h, k)\). Attention : \(a\) ne doit jamais être égal à zéro. Si \(a = 0\), l'expression devient affine et non plus du second degré : il n'y a donc plus de parabole.

Les formules expliquées

L'abscisse du sommet se situe exactement sur l'axe de symétrie, donné par \(h = -\frac{b}{2a}\). En réinjectant cette valeur dans l'équation puis en simplifiant, on obtient \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). Réunies, ces coordonnées permettent d'écrire la forme canonique \(y = a(x - h)^2 + k\), idéale pour tracer la courbe, repérer le maximum ou le minimum et résoudre des problèmes d'optimisation.

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$

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Le sommet \((h, k)\) est le point de retournement de la parabole, où \(h = -\frac{b}{2a}\) donne sa position en \(x\).

Exemple détaillé

Prenons \(y = 2x^2 + 8x + 3\). On a ici \(a = 2\), \(b = 8\) et \(c = 3\). Alors $$h = -\frac{8}{2\times 2} = -2,$$ et $$k = 3 - \frac{8^2}{4\times 2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5.$$ Le sommet est donc \((-2, -5)\) ; puisque \(a\) est positif, il s'agit d'un point minimum.

Quand \(a\) est positif, le sommet est un minimum ; quand \(a\) est négatif, c'est un maximum.

Questions fréquentes

Le sommet est-il toujours un minimum ? Non. Si \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut et le sommet en est le minimum ; si \(a < 0\), elle est tournée vers le bas et le sommet en est le maximum.

Qu'est-ce que l'axe de symétrie ? C'est la droite verticale d'équation \(x = h\), qui passe par le sommet et reflète parfaitement les deux moitiés de la parabole.

Et si \(a\) vaut zéro ? L'équation n'est alors plus du second degré : aucun sommet n'existe. Le calculateur signale cette saisie comme invalide.