結果

頂點座標

(3, -4)

頂點 (h, k)

h = -b / (2a)	3
k = c - b² / (4a)	-4

什麼是二次函數頂點計算器？

凡是寫成一般式 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函數，其圖形都是一條拋物線。頂點就是拋物線的轉折點——當 a 為正值時是最低點，當 a 為負值時則是最高點。這個計算器能直接由係數 a、b、c 求出頂點座標 $(h, k)$，讓你不必再手動配方（完全平方）。

如何使用

把方程式中的三個係數輸入進去即可。以 $y = x^2 - 6x + 5$ 為例，設定 a = 1、b = -6、c = 5，按下計算後，工具就會回傳座標對 $(h, k)$。請記得 a 不可以為 0——若 a = 0，這個式子就變成一次（線性）函數，而非二次函數，也就不會有拋物線。

公式解析

頂點的 x 座標恰好落在對稱軸上，公式為 $h = -b / (2a)$。將這個值代回原方程式並化簡，便可得到 $k = c - b^2 / (4a)$。兩者合起來就構成頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$，無論是畫圖、求最大值或最小值，還是解最佳化問題，都會變得相當直觀。

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$

座標軸上開口向上的拋物線，頂點標記在點 (h, k) — 頂點 $(h, k)$ 是拋物線的轉折點，其中 $h = -b/(2a)$ 給出它的 x 座標。

範例演練

以 $y = 2x^2 + 8x + 3$ 為例，此時 a = 2、b = 8、c = 3。則 $$h = \frac{-8}{2\times2} = -2,$$ 而 $$k = 3 - \frac{8^2}{4\times2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5.$$ 因此頂點為 $(-2, -5)$；又因 a 為正值，這個點即為最低點（最小值）。