二次関数の頂点計算ツールとは？
標準形 \(y = ax^2 + bx + c\) で表されるすべての二次関数は、放物線を描きます。頂点とは放物線の「折り返し点」であり、a が正のときは最も低い点（最小値）、a が負のときは最も高い点（最大値）になります。このツールは、係数 a・b・c から頂点座標（h, k）を直接求めるので、平方完成を手計算で行う必要はありません。
使い方
式から 3 つの係数を入力します。たとえば \(y = x^2 - 6x + 5\) なら、\(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 5\) と設定します。「計算」を押すと、順序対（h, k）が表示されます。なお a を 0 にすることはできません。\(a = 0\) の場合、その式は二次式ではなく一次式となり、放物線は存在しません。
公式の解説
頂点の x 座標は対称軸の真上にあり、\(h = -\frac{b}{2a}\) で求められます。この値を元の式に代入して整理すると、\(k = c - \frac{b^2}{4a}\) が得られます。この 2 つを合わせると頂点形式 \(y = a(x - h)^2 + k\) となり、グラフの作成、最大値・最小値の特定、最適化問題の解法がぐっと簡単になります。
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2a},\;\; c - \frac{b^2}{4a}\right)$$
計算例
\(y = 2x^2 + 8x + 3\) を考えてみましょう。ここでは \(a = 2\)、\(b = 8\)、\(c = 3\) です。すると $$h = -\frac{8}{2 \times 2} = -2$$ $$k = 3 - \frac{8^2}{4 \times 2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5$$ となります。頂点は (-2, -5) であり、a が正なのでこれは最小点です。
よくある質問
頂点はつねに最小値ですか？ いいえ。\(a > 0\) のとき放物線は上に開き、頂点は最小値になります。\(a < 0\) のときは下に開き、頂点は最大値になります。
対称軸とは何ですか？ 頂点を通る垂直線 \(x = h\) のことです。この線を境に放物線の左右が鏡のように対称となります。
a が 0 のときはどうなりますか？ 式はもはや二次式ではなくなるため、頂点は存在しません。このツールはその場合、無効な入力として表示します。
