ما هي حاسبة رأس الدالة التربيعية؟
كل دالة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية \(y = ax^2 + bx + c\) ترسم قطعًا مكافئًا (بارابولا). والرأس هو نقطة الانعطاف في هذا القطع المكافئ — أي أدنى نقطة عندما يكون المعامل \(a\) موجبًا، أو أعلى نقطة عندما يكون \(a\) سالبًا. تستخرج هذه الحاسبة إحداثيات الرأس \((h,\,k)\) مباشرةً من المعاملات \(a\) وb وc، فتغنيك عن إكمال المربع يدويًا.
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة الموجودة في معادلتك. فمثلًا في المعادلة \(y = x^2 - 6x + 5\) تكون \(a = 1\) وb \(= -6\) وc \(= 5\). اضغط زر الحساب، فتعرض الأداة الزوج المرتب \((h,\,k)\). وتذكّر أن قيمة \(a\) يجب ألا تساوي صفرًا — فإذا كانت \(a = 0\) صارت العبارة خطية لا تربيعية، ولا يوجد عندها قطع مكافئ.
شرح المعادلة
يقع الإحداثي السيني للرأس تمامًا على محور التماثل، ويُعطى بالعلاقة \(h = -\frac{b}{2a}\). وبتعويض هذه القيمة في المعادلة وتبسيطها نحصل على \(k = c - \frac{b^2}{4a}\).
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2a},\;\; c - \frac{b^2}{4a}\right)$$وتعطينا هاتان القيمتان معًا صيغة الرأس \(y = a(x - h)^2 + k\)، التي تسهّل رسم الدالة وإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى وحل مسائل الأمثلة (التحسين).
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(y = 2x^2 + 8x + 3\)، حيث \(a = 2\) وb \(= 8\) وc \(= 3\). عندئذٍ
$$h = -\frac{8}{2 \times 2} = -2$$$$k = 3 - \frac{8^2}{4 \times 2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5$$إذن الرأس هو \((-2,\,-5)\)، وبما أن \(a\) موجبة فهذه هي نقطة القيمة الصغرى.
الأسئلة الشائعة
هل يكون الرأس دائمًا قيمة صغرى؟ لا. إذا كانت \(a > 0\) يفتح القطع المكافئ نحو الأعلى ويكون الرأس قيمةً صغرى، وإذا كانت \(a < 0\) يفتح نحو الأسفل ويكون الرأس قيمةً عظمى.
ما هو محور التماثل؟ هو الخط الرأسي \(x = h\) الذي يمر عبر الرأس ويعكس نصفي القطع المكافئ كصورة مرآة.
ماذا لو كانت a تساوي صفرًا؟ عندئذٍ تفقد المعادلة صفتها التربيعية، فلا يوجد رأس. وتشير الحاسبة إلى ذلك بوصفه إدخالًا غير صالح.
