이차함수 꼭짓점 좌표 계산기

계산 입력

계수 a

계수 b

계수 c

결과

꼭짓점 좌표

(3, -4)

꼭짓점 (h, k)

h = -b / (2a)	3
k = c - b² / (4a)	-4

이차함수 꼭짓점 계산기란?

표준형 \(y = ax^2 + bx + c\) 로 표현되는 모든 이차함수는 포물선을 그립니다. 꼭짓점은 포물선의 방향이 바뀌는 지점으로, a가 양수일 때는 가장 낮은 점(최솟값), a가 음수일 때는 가장 높은 점(최댓값)이 됩니다. 이 계산기는 계수 a, b, c만 입력하면 꼭짓점 좌표 \((h, k)\)를 즉시 구해 주므로, 일일이 완전제곱식으로 변형할 필요가 없습니다.

사용 방법

식에 들어 있는 세 개의 계수를 입력하면 됩니다. 예를 들어 \(y = x^2 - 6x + 5\) 라면 \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\) 로 설정합니다. 계산 버튼을 누르면 순서쌍 \((h, k)\)가 출력됩니다. 단, a는 0이 될 수 없습니다. \(a = 0\)이면 식이 일차식이 되어 이차함수가 아니므로 포물선이 만들어지지 않습니다.

공식 풀이

꼭짓점의 x좌표는 대칭축 위에 정확히 놓이며 \(h = -\frac{b}{2a}\) 로 구합니다. 이 값을 원래 식에 다시 대입해 정리하면 \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) 가 됩니다. 이 둘을 합치면 꼭짓점 형태인 \(y = a(x - h)^2 + k\) 가 되는데, 그래프 그리기, 최댓값·최솟값 찾기, 최적화 문제 풀이가 한결 쉬워집니다.

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$

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꼭짓점 \((h, k)\)는 포물선의 변곡점이며, \(h = -\frac{b}{2a}\)가 그 x좌표를 나타냅니다.

예제 풀이

\(y = 2x^2 + 8x + 3\) 을 살펴봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(b = 8\), \(c = 3\) 입니다. 그러면 \(h = -\frac{8}{2\times 2} = -2\) 이고, $$k = 3 - \frac{8^2}{4\times 2} = 3 - \frac{64}{8} = 3 - 8 = -5$$ 입니다. 따라서 꼭짓점은 \((-2, -5)\)이며, a가 양수이므로 이 점이 최솟값입니다.

a가 양수이면 꼭짓점은 최솟값이고, a가 음수이면 최댓값입니다.

자주 묻는 질문

꼭짓점은 항상 최솟값인가요? 아닙니다. \(a > 0\) 이면 포물선이 위로 열려 꼭짓점이 최솟값이 되고, \(a < 0\) 이면 아래로 열려 꼭짓점이 최댓값이 됩니다.

대칭축이란 무엇인가요? 꼭짓점을 지나는 수직선 \(x = h\) 를 말하며, 이 선을 기준으로 포물선의 좌우가 대칭을 이룹니다.

a가 0이면 어떻게 되나요? 식이 더 이상 이차함수가 아니므로 꼭짓점이 존재하지 않습니다. 계산기는 이를 유효하지 않은 입력으로 표시합니다.