Что такое калькулятор вершины параболы?
Любая квадратичная функция, записанная в стандартном виде \(y = ax^2 + bx + c\), задаёт параболу. Вершина — это точка перегиба графика: самая нижняя точка, если коэффициент a положительный, или самая верхняя, если a отрицательный. Этот калькулятор находит координаты вершины \((h, k)\) прямо по коэффициентам a, b и c, поэтому выделять полный квадрат вручную больше не нужно.
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента из вашего уравнения. Например, для \(y = x^2 - 6x + 5\) укажите \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 5\). Нажмите «Вычислить» — и инструмент выдаст упорядоченную пару \((h, k)\). Помните: коэффициент a не должен равняться нулю. Если \(a = 0\), выражение становится линейным, а не квадратичным, и параболы попросту нет.
Разбор формулы
Абсцисса вершины лежит ровно на оси симметрии и вычисляется по формуле \(h = -b / (2a)\). Подставив это значение обратно в уравнение и упростив выражение, получаем \(k = c - b^2 / (4a)\). Вместе они дают каноническую форму записи параболы $$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$ с которой легко строить график, находить максимум или минимум и решать задачи оптимизации.
Пример с решением
Возьмём \(y = 2x^2 + 8x + 3\). Здесь \(a = 2\), \(b = 8\), \(c = 3\). Тогда $$h = -8 / (2\times2) = -2$$ а $$k = 3 - 8^2 / (4\times2) = 3 - 64/8 = 3 - 8 = -5$$ Вершина находится в точке \((-2, -5)\), и поскольку коэффициент a положительный, это точка минимума.
Частые вопросы
Вершина — это всегда минимум? Нет. Если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх, и вершина является минимумом. Если \(a < 0\), ветви направлены вниз, и вершина становится максимумом.
Что такое ось симметрии? Это вертикальная прямая \(x = h\), которая проходит через вершину и делит параболу на две зеркально равные половины.
А если a равно нулю? Тогда уравнение перестаёт быть квадратичным, и вершины не существует. Калькулятор сообщит об ошибке ввода.
