약수쌍이란?
어떤 수 N의 약수쌍이란 서로 곱했을 때 N이 되는 두 자연수의 짝을 말합니다. 예를 들어 12의 약수쌍은 \((1 \times 12)\), \((2 \times 6)\), \((3 \times 4)\)입니다. 모든 양의 정수는 최소한 하나의 약수쌍 \((1 \times N)\)을 가지며, 이 쌍을 모두 찾으면 해당 수의 완전한 약수 구조를 한눈에 파악할 수 있습니다. 분수를 약분하거나, 대수식을 인수분해하거나, 소수와 합성수를 구분할 때 매우 유용합니다.
계산기 사용법
'수 (N)' 칸에 양의 정수를 입력하고 실행하세요. 계산기는 중복 없는 모든 약수쌍과 쌍의 총 개수, 그리고 전체 약수의 개수를 알려줍니다. 소수를 입력하면 \((1 \times N)\) 단 하나의 쌍만 나오고, 완전제곱수를 입력하면 36의 \((6 \times 6)\)처럼 두 약수가 같은 쌍이 나옵니다.
공식 풀이
우리는 \(a \times b = N\)이 되는 모든 \((a, b)\) 쌍을 찾습니다. N까지 모든 수를 일일이 확인하는 대신, 1부터 N의 제곱근까지의 수만 검사합니다. a가 N을 나누어떨어지게 하면 그 짝꿍인 \(b = N/a\)도 자동으로 약수가 되므로, 한 번에 쌍 하나를 얻을 수 있습니다. $$\{(a,\,b)\ :\ a \times b = \text{N},\ \ 1 \le a \le \sqrt{\text{N}}\}$$ 바로 이 점 덕분에 계산이 \(O(\sqrt{N})\) 시간에 끝나며, 큰 수에서도 빠르게 동작합니다.
예제 풀이
N = 36일 때 제곱근은 6입니다. 6 이하의 약수인 \(a = 1, 2, 3, 4, 6\)을 검사하면: \(36 \div 1 = 36\), \(36 \div 2 = 18\), \(36 \div 3 = 12\), \(36 \div 4 = 9\), \(36 \div 6 = 6\). 따라서 \((1 \times 36)\), \((2 \times 18)\), \((3 \times 12)\), \((4 \times 9)\), \((6 \times 6)\)의 쌍이 나오며 — 약수쌍은 5개, 전체 약수는 9개입니다.
자주 묻는 질문
소수를 입력하면 어떻게 되나요? \((1 \times N)\) 단 하나의 약수쌍만 나오며, 이는 그 수가 소수임을 확인해 줍니다.
완전제곱수는 왜 쌍 개수가 다른가요? 완전제곱수는 \((6 \times 6)\)처럼 두 약수가 똑같은 쌍을 가집니다. 그래서 쌍으로는 한 개로 세지만, 약수 6은 전체 약수 개수에서 한 번만 세어집니다.
음수 약수도 포함되나요? 아니요. 이 계산기는 표준 관례에 따라 양의 약수쌍만 나열합니다.
