Cặp thừa số là gì?
Cặp thừa số của một số N là hai số nguyên mà khi nhân với nhau sẽ cho ra N. Ví dụ, các cặp thừa số của 12 là \((1 \times 12)\), \((2 \times 6)\) và \((3 \times 4)\). Mọi số nguyên dương đều có ít nhất một cặp thừa số là \((1 \times N)\), và việc tìm ra tất cả các cặp giúp ta thấy được toàn bộ cấu trúc ước số của con số đó — rất hữu ích khi rút gọn phân số, phân tích biểu thức đại số thành nhân tử, cũng như phân biệt số nguyên tố với hợp số.
Cách sử dụng máy tính
Nhập một số nguyên dương bất kỳ vào ô Số (N) rồi bấm tính. Máy tính sẽ trả về từng cặp thừa số duy nhất, tổng số cặp và tổng số ước. Một số nguyên tố sẽ chỉ có đúng một cặp là \((1 \times N)\); còn số chính phương sẽ cho một cặp mà hai thừa số bằng nhau, chẳng hạn \((6 \times 6)\) đối với số 36.
Giải thích công thức
Chúng ta đi tìm mọi cặp (a, b) sao cho \(a \times b = N\). Thay vì phải kiểm tra tất cả các số từ 1 đến N, ta chỉ cần xét các số từ 1 đến căn bậc hai của N. Mỗi khi a chia hết cho N, thì số đối ứng \(b = N/a\) cũng tự động là một ước, nên ta thu được cả cặp chỉ trong một bước. Đó là lý do thuật toán chạy với độ phức tạp \(O(\sqrt{N})\) và vẫn nhanh ngay cả với những số rất lớn.
$$\{(a,\,b)\ :\ a \times b = \text{N},\ \ 1 \le a \le \sqrt{\text{N}}\}$$
Ví dụ minh họa
Với \(N = 36\), căn bậc hai là 6. Lần lượt thử \(a = 1, 2, 3, 4, 6\) (các ước từ 1 đến 6): \(36 \div 1 = 36\), \(36 \div 2 = 18\), \(36 \div 3 = 12\), \(36 \div 4 = 9\), \(36 \div 6 = 6\). Kết quả là các cặp \((1 \times 36)\), \((2 \times 18)\), \((3 \times 12)\), \((4 \times 9)\) và \((6 \times 6)\) — tổng cộng 5 cặp thừa số và 9 ước số.
Câu hỏi thường gặp
Nếu tôi nhập một số nguyên tố thì sao? Bạn sẽ chỉ nhận được đúng một cặp thừa số là \((1 \times N)\), điều này xác nhận đó là số nguyên tố.
Vì sao số cặp của số chính phương lại khác? Số chính phương có một cặp dạng \((6 \times 6)\) với hai thừa số giống hệt nhau, nên nó vẫn được tính là một cặp, nhưng ước số 6 chỉ được đếm một lần trong tổng số ước.
Máy tính có tính cả thừa số âm không? Không — máy tính này chỉ liệt kê các cặp thừa số dương, đúng theo quy ước thông thường.
