Что такое длина дуги
Длина дуги — это расстояние, измеренное вдоль изогнутого края окружности между двумя точками. Она зависит от двух величин: насколько велика окружность (её радиус) и насколько широк вырезанный сектор (центральный угол). Калькулятор работает с любой окружностью и любым углом и выдаёт длину дуги в тех же единицах, в которых вы задали радиус.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус окружности и центральный угол, на который опирается дуга. Укажите, в чём измеряется угол — в градусах или радианах, — и сразу получите длину дуги. Калькулятор также покажет тот же угол в других единицах, длину всей окружности и длину хорды — прямой линии, соединяющей концы дуги.
Разбор формулы
Если угол θ задан в радианах, длина дуги вычисляется совсем просто: $$s = r \times \theta$$ Это работает потому, что радиан по определению — это угол, вырезающий дугу, равную радиусу. Если угол задан в градусах, рассматривайте дугу как часть всей окружности: $$s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360}$$ Оба варианта дают одинаковый результат, ведь \(360^\circ = 2\pi\) радиан.
Пример расчёта
Пусть окружность имеет радиус 5 единиц, а центральный угол равен 90°. Длина всей окружности составляет \(2\pi \times 5 \approx 31{,}4159\). Девяносто градусов — это четверть окружности, поэтому длина дуги равна $$31{,}4159 \times \frac{90}{360} = 7{,}85398 \text{ единиц.}$$ То же самое в радианах: \(90^\circ = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\), и \(5 \times 1{,}5708 = 7{,}85398\).
Частые вопросы
В каких единицах получается ответ? Длина дуги выдаётся в тех же единицах, что и радиус: введёте сантиметры — получите сантиметры.
Как перевести градусы в радианы? Умножьте градусы на \(\frac{\pi}{180}\). Так, \(180^\circ = \pi \approx 3{,}14159\) радиан.
Что такое длина хорды? Хорда — это прямой отрезок между двумя концами дуги, вычисляемый по формуле \(2r \cdot \sin(\theta/2)\). Она всегда короче самой дуги.
Распространённые длины дуг для стандартных углов
Длина дуги окружности находится по формуле \(L = r\theta\), где \(\theta\) — центральный угол в радианах. Если ваш угол в градусах, сначала преобразуйте его по формуле \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\). Поскольку полная окружность (360°) имеет длину окружности \(2\pi r\), каждый угол занимает простую долю этой длины окружности.
В таблице ниже приведены наиболее распространённые углы, их эквиваленты в радианах, длина дуги, выраженная как доля окружности, и фактическая длина дуги для единичной окружности (\(r=1\)).
| Угол (градусы) | Угол (радианы) | Доля окружности | Длина дуги (общая формула) | Длина дуги, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (полная окружность) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
Для любого другого радиуса умножьте значение при \(r=1\) на ваш радиус. Например, дуга в 90° на окружности с радиусом 5 имеет длину \(5 \times 1.5708 = 7.854\).
