Что делает этот калькулятор
Калькулятор применяет три основных свойства степеней, чтобы упростить выражение, составленное из степеней с общим основанием. Укажите основание a и два показателя m и n, выберите действие — умножение, деление или возведение степени в степень, — и калькулятор выдаст результат в виде одной степени с этим основанием вместе с её числовым значением.
Как пользоваться
Введите основание, первый показатель степени и второй показатель степени. Выберите действие:
- Умножение — объединяет \(a^m \times a^n\) путём сложения показателей.
- Деление — объединяет \(a^m \div a^n\) путём вычитания показателей.
- Степень в степени — объединяет \(\left(a^m\right)^n\) путём умножения показателей.
В результате вы увидите упрощённый показатель, переписанную степень и её десятичное значение.
Разбираем формулу
Свойства степеней позволяют свернуть повторяющееся умножение в один показатель, если основание одинаковое. При умножении показатели складываются, ведь вы как бы «наслаиваете» множители:
$$a^m \cdot a^n = a^{\,m+n}$$При делении общие множители сокращаются, и показатели вычитаются:
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{\,m-n}$$При возведении степени в степень умножение повторяется \(n\) раз, поэтому показатели перемножаются:
$$\left(a^m\right)^n = a^{\,mn}$$Эти правила работают для любых действительных показателей, включая отрицательные и дробные.
Пример с решением
Упростим \(2^3 \times 2^4\). При основании \(a = 2\), \(m = 3\), \(n = 4\) и действии «умножение» показатели складываются: \(3 + 4 = 7\). Значит, выражение упрощается до
$$2^7 = 128$$
Частые вопросы
Должны ли основания совпадать? Да. Эти правила применимы только тогда, когда у степеней одно и то же основание. Степени с разными основаниями таким образом объединить нельзя.
Можно ли использовать отрицательные или дробные показатели? Да. Правила работают для любых действительных показателей, поэтому \(a^{-2}\) или \(a^{1/2}\) вполне допустимы.
Что если итоговый показатель отрицательный? Отрицательный показатель означает обратную величину: \(a^{-k} = \frac{1}{a^k}\). В поле числового значения это учитывается автоматически.
