गणना दर्ज करें

परिणाम

सरल किया गया घातांक

2⁷

एकल-आधार घात रूप

आधार (a)	2
परिणामी घातांक	7
संख्यात्मक मान	128

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह कैलकुलेटर घातांक के तीन मुख्य नियमों का उपयोग करके ऐसे व्यंजक को सरल करता है जो एक ही आधार (base) वाली घातों से बना हो। इसमें एक आधार a और दो घातांक m और n डालें, फिर चुनें कि आप गुणा कर रहे हैं, भाग कर रहे हैं, या किसी घात की घात निकाल रहे हैं — कैलकुलेटर परिणाम को उसी आधार की एक ही घात के रूप में और साथ ही उसका संख्यात्मक मान दिखाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

आधार, पहला घातांक और दूसरा घातांक दर्ज करें। फिर संक्रिया (operation) चुनें:

गुणा — $a^m \times a^n$ को घातांक जोड़कर संयोजित करता है।
भाग — $a^m \div a^n$ को घातांक घटाकर संयोजित करता है।
घात की घात — $\left(a^m\right)^n$ को घातांक गुणा करके संयोजित करता है।

परिणाम में सरल किया गया घातांक, पुनः लिखी गई घात और उसका दशमलव मान दिखता है।

सूत्र की व्याख्या

घातांक के नियम आपको बार-बार होने वाले गुणन को एक ही घातांक में समेटने देते हैं, बशर्ते आधार एक समान हो। गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं क्योंकि आप गुणनखंडों को आपस में जोड़ रहे होते हैं: $$a^m \cdot a^n = a^{\,m+n}$$ भाग करने पर समान गुणनखंड कट जाते हैं और घातांक घटते हैं: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{\,m-n}$$ किसी घात की दूसरी घात निकालने पर वही गुणन $n$ बार दोहराया जाता है, इसलिए घातांक गुणा होते हैं: $$\left(a^m\right)^n = a^{\,mn}$$ ये नियम सभी वास्तविक घातांकों पर लागू होते हैं, जिनमें ऋणात्मक और भिन्न (fraction) घातांक भी शामिल हैं।

घातांक के तीन नियम सपाट आरेखों के रूप में दर्शाए गए — घातांक के तीन मुख्य नियम: गुणनफल, भागफल और घात का घात।

हल किया गया उदाहरण

$2^3 \times 2^4$ को सरल करें। यहाँ आधार $a = 2$, $m = 3$, $n = 4$ और संक्रिया गुणा है, तो घातांक जुड़ जाते हैं: $3 + 4 = 7$। इसलिए यह व्यंजक सरल होकर $$2^7 = 128$$ बन जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या आधार का समान होना ज़रूरी है? हाँ। ये नियम तभी लागू होते हैं जब घातों का आधार एक समान हो। अलग-अलग आधारों को इस तरह संयोजित नहीं किया जा सकता।

क्या मैं ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांक उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। ये नियम सभी वास्तविक घातांकों पर काम करते हैं, इसलिए $a^{-2}$ या $a^{1/2}$ भी पूरी तरह सही हैं।

अगर परिणामी घातांक ऋणात्मक निकले तो क्या होगा? ऋणात्मक घातांक का अर्थ व्युत्क्रम (reciprocal) होता है: $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$। संख्यात्मक मान वाला फ़ील्ड इसे अपने आप दर्शा देता है।

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