Что такое модель Лотки — Вольтерры?
Уравнения Лотки — Вольтерры — это пара нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих динамику биологической системы, в которой взаимодействуют два вида: один в роли хищника, другой — жертвы. Модель была независимо выведена Альфредом Лоткой и Вито Вольтеррой в 1920-х годах и наглядно показывает циклические подъёмы и спады численности: жертвы размножаются, хищники наедаются и тоже растут в числе, затем популяция жертв резко падает, хищники начинают голодать — и цикл повторяется снова.
Как пользоваться калькулятором
Введите начальную численность жертв (\(x_0\)) и хищников (\(y_0\)), четыре коэффициента (\(\alpha\) — рост жертв, \(\beta\) — хищничество, \(\delta\) — прирост хищников за счёт поедания жертв, \(\gamma\) — смертность хищников), шаг по времени (\(dt\)) и количество шагов интегрирования. Калькулятор продвигает систему классическим методом Рунге — Кутты четвёртого порядка (РК4) и выводит итоговые популяции, пиковые значения каждого вида, а также аналитическую точку равновесия.
Разбор формулы
Уравнение для жертв $$\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y$$ означает, что жертвы растут экспоненциально, но их численность снижается при встрече с хищниками. Уравнение для хищников $$\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y$$ показывает, что хищники прибавляют в числе за счёт удачной охоты и убывают из-за естественной смертности. Ненулевое положение равновесия находится в точке $$x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta}$$ здесь обе производные равны нулю, и численность популяций остаётся постоянной.
Пример расчёта
При \(x_0 = 40\), \(y_0 = 9\), \(\alpha = 0{,}1\), \(\beta = 0{,}02\), \(\delta = 0{,}01\), \(\gamma = 0{,}1\), \(dt = 0{,}1\) на протяжении 1000 шагов (\(t\) до 100) популяции колеблются. Точка равновесия равна $$x^{*} = \frac{0{,}1}{0{,}01} = 10 \text{ жертв} \qquad y^{*} = \frac{0{,}1}{0{,}02} = 5 \text{ хищников}$$ — это центр, вокруг которого вращается цикл.
Частые вопросы
Какой метод интегрирования используется? Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка: при том же шаге он значительно точнее простого метода Эйлера.
Почему популяция «улетает» в бесконечность или обнуляется? Слишком большой шаг по времени или экстремальные значения коэффициентов делают численное решение неустойчивым. Уменьшите \(dt\) — циклы станут плавнее и точнее.
Что будет, если стартовать прямо из точки равновесия? Если \(x_0 = \gamma/\delta\) и \(y_0 = \alpha/\beta\), обе производные равны нулю, поэтому численность остаётся постоянной — это неподвижная точка системы.
