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सूत्र (फॉर्मूला)

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Equilibrium Point

Steady-state populations where the derivatives vanish.

परिणाम

Population at t = 100

0.87 शिकार / 9.95 शिकारी

सिमुलेशन के बाद अंतिम आबादी

मात्रा	शिकार (x)	शिकारी (y)
शिखर आबादी	42.8	21.4
संतुलन बिंदु	10	5

लोटका-वोल्टेरा मॉडल क्या है?

लोटका-वोल्टेरा समीकरण दो प्रथम-क्रम के अरैखिक अवकल समीकरणों की एक जोड़ी हैं, जो ऐसी जैविक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन करते हैं जिनमें दो प्रजातियाँ आपस में परस्पर क्रिया करती हैं — एक शिकारी के रूप में और दूसरी शिकार के रूप में। 1920 के दशक में अल्फ्रेड लोटका और विटो वोल्टेरा ने इसे स्वतंत्र रूप से विकसित किया था। यह मॉडल आबादी के चक्रीय उतार-चढ़ाव को दर्शाता है: शिकार बढ़ते हैं, शिकारी उन्हें खाकर पनपते हैं, फिर शिकार घटते हैं, शिकारी भूखे मरते हैं, और यही चक्र बार-बार दोहराता है।

समय के साथ शिकार और शिकारी आबादी के दोलनशील वक्र, शिकारी के शिखर शिकार के शिखरों से पीछे — शिकारी (नारंगी) और शिकार (हरे) की आबादी समय के साथ दोलन करती है, शिकारी के शिखर शिकार के शिखरों से पीछे रहते हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

शिकार की प्रारंभिक आबादी ($x_0$) और शिकारी की प्रारंभिक आबादी ($y_0$), चार दर मापदंड ($\alpha$ शिकार की वृद्धि, $\beta$ शिकार-दर यानी शिकारी द्वारा खाया जाना, $\delta$ शिकार खाने से शिकारी की वृद्धि, $\gamma$ शिकारी की मृत्यु-दर), समय-चरण ($dt$) और कितने चरणों तक गणना करनी है, यह संख्या दर्ज करें। यह कैलकुलेटर प्रसिद्ध चौथे-क्रम के रंज-कुट्टा (RK4) विधि से प्रणाली को आगे बढ़ाता है और अंतिम आबादी, हर आबादी द्वारा छुआ गया शिखर स्तर, तथा विश्लेषणात्मक संतुलन बिंदु बताता है।

सूत्र की व्याख्या

शिकार समीकरण $\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y$ बताता है कि शिकार चरघातांकी (exponential) रूप से बढ़ते हैं, पर जब वे शिकारियों के सामने आते हैं तो घट जाते हैं। शिकारी समीकरण $\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y$ बताता है कि सफल शिकार से शिकारी बढ़ते हैं और स्वाभाविक रूप से मरते भी रहते हैं। अशून्य संतुलन बिंदु $$x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta}$$ पर होता है — इस बिंदु पर दोनों अवकलज शून्य होते हैं और आबादी स्थिर बनी रहती है।

केंद्रीय संतुलन बिंदु के साथ शिकारी बनाम शिकार आबादी का बंद-लूप फेज़ चित्र — शिकारी (y) को शिकार (x) के सामने आलेखित करने पर संतुलन बिंदु के चारों ओर एक बंद लूप बनता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$x_0 = 40$, $y_0 = 9$, $\alpha = 0.1$, $\beta = 0.02$, $\delta = 0.01$, $\gamma = 0.1$, $dt = 0.1$ के साथ 1000 चरणों तक ($t = 100$ तक) आबादी दोलन करती है। संतुलन बिंदु $$x^{*} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \quad \text{शिकार और} \quad y^{*} = \frac{0.1}{0.02} = 5 \quad \text{शिकारी है}$$ — यही वह केंद्र है जिसके चारों ओर पूरा चक्र घूमता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कौन-सी संख्यात्मक विधि इस्तेमाल होती है? चौथे-क्रम की रंज-कुट्टा विधि, जो समान चरण-आकार पर साधारण ऑयलर विधि की तुलना में कहीं अधिक सटीक होती है।

मेरी आबादी अचानक बहुत बढ़ क्यों जाती है या शून्य क्यों हो जाती है? बहुत बड़े समय-चरण या अत्यधिक दरें संख्यात्मक हल को अस्थिर बना सकती हैं। अधिक चिकने और सटीक चक्रों के लिए $dt$ का मान घटाएँ।

अगर मैं संतुलन बिंदु से शुरुआत करूँ तो? अगर $x_0 = \frac{\gamma}{\delta}$ और $y_0 = \frac{\alpha}{\beta}$ हो, तो दोनों अवकलज शून्य होते हैं और आबादी स्थिर बनी रहती है — यह प्रणाली का स्थिर बिंदु (fixed point) है।

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