ما هو نموذج لوتكا-فولتيرا؟
معادلات لوتكا-فولتيرا هي زوج من المعادلات التفاضلية اللاخطية من الرتبة الأولى تصف ديناميكيات الأنظمة البيولوجية التي يتفاعل فيها نوعان من الكائنات الحية — أحدهما مفترس والآخر فريسة. توصّل إلى هذا النموذج كلٌّ من ألفريد لوتكا وفيتو فولتيرا بشكل مستقل في عشرينيات القرن الماضي، وهو يجسّد التصاعد والتراجع الدوري في الأعداد: تتكاثر الفريسة، فيتغذى المفترس ويزداد عدده، ثم ينهار عدد الفريسة، فيتضوّر المفترس جوعًا، وتعود الدورة من جديد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل عدد الفريسة الابتدائي (\(x_0\)) وعدد المفترس الابتدائي (\(y_0\))، ومعاملات المعدلات الأربعة (\(\alpha\) معدل نمو الفريسة، \(\beta\) معدل الافتراس، \(\delta\) معدل نمو المفترس نتيجة التهام الفريسة، \(\gamma\) معدل نفوق المفترس)، وخطوة زمنية (\(dt\))، وعدد الخطوات المراد تكاملها. تتقدّم الحاسبة بالنظام باستخدام طريقة رونغه-كوتا الكلاسيكية من الرتبة الرابعة (RK4)، وتعرض الأعداد النهائية، والذروة التي بلغها كل عدد، ونقطة التوازن التحليلية.
شرح المعادلة
تنصّ معادلة الفريسة \(\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y\) على أن الفريسة تنمو نموًا أسيًا لكن أعدادها تتناقص عند التقائها بالمفترسات. أما معادلة المفترس \(\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y\) فتنصّ على أن أعداد المفترس تزداد من عمليات الصيد الناجحة وتتناقص بالنفوق الطبيعي. وتقع نقطة التوازن غير الصفرية عند $$x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta}$$ — وعندها تكون كلتا المشتقتين صفرًا وتبقى الأعداد ثابتة.
مثال تطبيقي
عند \(x_0 = 40\) وَ\(y_0 = 9\) وَ\(\alpha = 0.1\) وَ\(\beta = 0.02\) وَ\(\delta = 0.01\) وَ\(\gamma = 0.1\) وَ\(dt = 0.1\) على مدى 1000 خطوة (الزمن \(t\) حتى 100)، تتذبذب الأعداد. وتكون نقطة التوازن $$x^{*} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \qquad y^{*} = \frac{0.1}{0.02} = 5$$ من الفريسة ومن المفترسات، وهي المركز الذي تدور حوله الدورة.
الأسئلة الشائعة
ما طريقة التكامل المستخدمة؟ طريقة رونغه-كوتا من الرتبة الرابعة، وهي أدقّ بكثير من طريقة أويلر البسيطة عند استخدام الخطوة الزمنية نفسها.
لماذا ينفجر عدد كائناتي أو يصل إلى الصفر؟ قد تجعل الخطوات الزمنية الكبيرة جدًا أو المعدلات المتطرفة الحلَّ العددي غير مستقر. قلّل قيمة \(dt\) للحصول على دورات أكثر سلاسة ودقة.
ماذا لو بدأتُ من نقطة التوازن؟ إذا كان \(x_0 = \frac{\gamma}{\delta}\) وَ\(y_0 = \frac{\alpha}{\beta}\)، فإن كلتا المشتقتين تساويان صفرًا، ومن ثَمّ تبقى الأعداد ثابتة — وهي نقطة ثابتة في النظام.
