什么是 Lotka-Volterra 模型？
Lotka-Volterra 方程是一组一阶非线性微分方程，用来描述两个相互作用的物种所构成的生态系统动态——其中一方是捕食者，另一方是猎物。该模型由 Alfred Lotka 和 Vito Volterra 于 20 世纪 20 年代各自独立推导出来，刻画了种群此消彼长的周期性循环：猎物大量繁殖，捕食者因食物充足而壮大，随后猎物数量骤降，捕食者陷入饥荒，如此循环往复。
如何使用本计算器
请依次输入猎物的初始种群数量（\(x_0\)）和捕食者的初始种群数量（\(y_0\)）、四个速率参数（\(\alpha\) 猎物增长率、\(\beta\) 捕食率、\(\delta\) 捕食者因捕食而增长的速率、\(\gamma\) 捕食者死亡率），以及时间步长（\(dt\)）和积分步数。计算器采用经典的四阶龙格-库塔（RK4）方法推进系统演化，并输出最终种群数量、每个物种达到的峰值，以及解析求得的平衡点。
公式详解
猎物方程 $$\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y$$ 表示猎物会呈指数增长，但每当遇到捕食者时数量就会减少。捕食者方程 $$\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y$$ 表示捕食者因成功捕食而增长，同时也会自然死亡。非零平衡点位于 $$x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta}$$——在该点上两个导数均为零，种群数量保持恒定。
实例演算
取 \(x_0 = 40\)、\(y_0 = 9\)、\(\alpha = 0.1\)、\(\beta = 0.02\)、\(\delta = 0.01\)、\(\gamma = 0.1\)、\(dt = 0.1\)，共积分 1000 步（\(t\) 最大到 100），种群数量会持续振荡。平衡点为 $$x^{*} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \text{ 只猎物}, \qquad y^{*} = \frac{0.1}{0.02} = 5 \text{ 只捕食者}$$这正是整个循环绕其运行的中心。
常见问题
使用了哪种数值积分方法？ 采用四阶龙格-库塔（RK4）方法。在相同步长下，它比简单的欧拉法精确得多。
为什么我的种群数量会暴增或归零？ 时间步长过大或速率参数过于极端，都可能导致数值解失稳。适当减小 \(dt\) 即可获得更平滑、更精确的周期曲线。
如果一开始就处于平衡点会怎样？ 若 \(x_0 = \gamma/\delta\) 且 \(y_0 = \alpha/\beta\)，两个导数均为零，种群数量将保持恒定——这就是系统的不动点。
