Qu'est-ce que le modèle de Lotka-Volterra ?
Les équations de Lotka-Volterra forment un couple d'équations différentielles non linéaires du premier ordre qui décrivent la dynamique des systèmes biologiques où deux espèces interagissent : l'une comme prédateur, l'autre comme proie. Établi de façon indépendante par Alfred Lotka et Vito Volterra dans les années 1920, le modèle rend compte de la hausse et de la chute cycliques des populations : les proies se multiplient, les prédateurs se nourrissent et prospèrent, les proies s'effondrent, les prédateurs déclinent faute de nourriture, et le cycle recommence.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la population initiale de proies (x₀) et de prédateurs (y₀), les quatre paramètres de taux (α croissance des proies, β prédation, δ croissance des prédateurs liée à la consommation des proies, γ mortalité des prédateurs), un pas de temps (dt) et le nombre de pas à intégrer. Le calculateur fait évoluer le système avec la méthode classique de Runge-Kutta d'ordre quatre (RK4) et restitue les populations finales, le pic atteint par chaque population ainsi que le point d'équilibre analytique.
La formule expliquée
L'équation des proies \(\frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y\) traduit le fait que les proies croissent de manière exponentielle, mais sont éliminées lors de leurs rencontres avec les prédateurs. L'équation des prédateurs \(\frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y\) indique que les prédateurs prospèrent grâce à leurs chasses fructueuses et disparaissent naturellement. L'équilibre non nul se situe en $$x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta}$$ en ce point, les deux dérivées s'annulent et les populations demeurent constantes.
Exemple résolu
Avec \(x_0 = 40\), \(y_0 = 9\), \(\alpha = 0{,}1\), \(\beta = 0{,}02\), \(\delta = 0{,}01\), \(\gamma = 0{,}1\), \(dt = 0{,}1\) sur 1000 pas (t jusqu'à 100), les populations oscillent. L'équilibre s'établit à $$x^{*} = \frac{0{,}1}{0{,}01} = 10 \text{ proies} \qquad y^{*} = \frac{0{,}1}{0{,}02} = 5 \text{ prédateurs}$$ le centre autour duquel orbite le cycle.
FAQ
Quelle méthode d'intégration est utilisée ? La méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre, bien plus précise qu'un simple schéma d'Euler à pas identique.
Pourquoi ma population explose-t-elle ou tombe-t-elle à zéro ? Des pas de temps trop grands ou des taux extrêmes peuvent rendre la solution numérique instable. Réduisez \(dt\) pour obtenir des cycles plus lisses et plus précis.
Que se passe-t-il si je pars de l'équilibre ? Si \(x_0 = \frac{\gamma}{\delta}\) et \(y_0 = \frac{\alpha}{\beta}\), les deux dérivées sont nulles : les populations restent donc constantes — c'est un point fixe du système.
