¿Qué es el modelo de Lotka-Volterra?
Las ecuaciones de Lotka-Volterra son un par de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden que describen la dinámica de los sistemas biológicos en los que dos especies interactúan: una como depredador y otra como presa. Desarrolladas de forma independiente por Alfred Lotka y Vito Volterra en la década de 1920, el modelo refleja el ascenso y la caída cíclicos de las poblaciones: las presas se multiplican, los depredadores se alimentan y prosperan, las presas se desploman, los depredadores pasan hambre y el ciclo vuelve a empezar.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la población inicial de presas (x₀) y de depredadores (y₀), los cuatro parámetros de tasa (α crecimiento de presas, β depredación, δ crecimiento de depredadores al alimentarse de presas, γ mortalidad de depredadores), un paso de tiempo (dt) y el número de pasos a integrar. La calculadora hace avanzar el sistema mediante el clásico método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4) y muestra las poblaciones finales, el máximo que alcanzó cada población y el punto de equilibrio analítico.
La fórmula explicada
La ecuación de las presas \( \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta x y \) indica que las presas crecen de forma exponencial, pero se reducen cuando se encuentran con los depredadores. La ecuación de los depredadores \( \frac{dy}{dt} = \delta x y - \gamma y \) señala que los depredadores aumentan gracias a las cacerías exitosas y mueren de forma natural. El equilibrio no nulo se sitúa en \( x^{*} = \gamma/\delta \) e \( y^{*} = \alpha/\beta \); en ese punto ambas derivadas son cero y las poblaciones se mantienen constantes.
$$ \frac{dx}{dt} = \alpha\,x - \beta\,x\,y \qquad \frac{dy}{dt} = \delta\,x\,y - \gamma\,y $$$$ x^{*} = \frac{\gamma}{\delta} \qquad y^{*} = \frac{\alpha}{\beta} $$
Ejemplo resuelto
Con x₀ = 40, y₀ = 9, α = 0,1, β = 0,02, δ = 0,01, γ = 0,1, dt = 0,1 a lo largo de 1000 pasos (t hasta 100), las poblaciones oscilan. El equilibrio es \( x^{*} = 0{,}1/0{,}01 = 10 \) presas e \( y^{*} = 0{,}1/0{,}02 = 5 \) depredadores, el centro alrededor del cual orbita el ciclo.
Preguntas frecuentes
¿Qué método de integración se utiliza? El método de Runge-Kutta de cuarto orden, mucho más preciso que el método simple de Euler para un mismo tamaño de paso.
¿Por qué mi población se dispara o llega a cero? Los pasos de tiempo muy grandes o las tasas extremas pueden volver inestable la solución numérica. Reduce el dt para obtener ciclos más suaves y precisos.
¿Y si empiezo en el equilibrio? Si \( x_0 = \gamma/\delta \) e \( y_0 = \alpha/\beta \), ambas derivadas son cero, por lo que las poblaciones se mantienen constantes: un punto fijo del sistema.
