Калькулятор Z-оценки (стандартизированного балла)

Введите расчет

Исходное значение (x)

Среднее (μ)

Стандартное отклонение (σ)

Результатов

Z-оценка (стандартизированный балл)

1,5

стандартных отклонений от среднего

Исходное значение (x)	85
Среднее (μ)	70
Стандартное отклонение (σ)	10

Что такое z-оценка?

Z-оценка (её также называют стандартизированным баллом или стандартной оценкой) показывает, на сколько стандартных отклонений конкретное значение \(x\) находится выше или ниже среднего \(\mu\) распределения. Положительная z-оценка означает, что значение выше среднего, отрицательная — ниже, а z-оценка, равная 0, говорит о том, что значение совпадает со средним. Поскольку z-оценка избавляет данные от исходных единиц измерения, она позволяет сравнивать показатели совершенно разной природы — например, сопоставить балл за тест с измерением роста.

Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего в нормальном распределении.

Как пользоваться калькулятором

Введите три числа: исходное значение \(x\), которое нужно стандартизировать, среднее \(\mu\) по набору данных и стандартное отклонение \(\sigma\). Калькулятор мгновенно вычислит z-оценку. Убедитесь, что стандартное отклонение больше нуля, — деление на ноль не имеет смысла.

Разбор формулы

Z-оценка вычисляется по формуле $$z = \frac{\text{Raw Score }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std Dev }(\sigma)}$$ Сначала вычтите из значения среднее, чтобы получить «сырое» отклонение, а затем разделите его на стандартное отклонение — так вы выразите это отклонение в единицах стандартного отклонения. Значение \(z = +1{,}5\) означает, что величина расположена на 1,5 стандартных отклонения выше среднего.

Реклама

Формула измеряет расстояние между исходным значением и средним, делённое на стандартное отклонение.

Пример расчёта

Допустим, ученик набрал 85 баллов за тест, где средний балл по классу составляет 70, а стандартное отклонение равно 10. Тогда $$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = 1{,}5$$ Ученик показал результат на 1,5 стандартных отклонения выше среднего — то есть лучше, чем примерно 93 % одноклассников при нормальном распределении.

Частые вопросы

Что означает отрицательная z-оценка? Это значит, что значение ниже среднего. Например, \(z = -2\) соответствует двум стандартным отклонениям ниже среднего.

Какая z-оценка считается «хорошей»? Это зависит от контекста, но при нормальном распределении около 68 % значений попадают в диапазон от \(z = -1\) до \(z = +1\), а примерно 95 % — между −2 и +2.

Можно ли вернуться от z-оценки к исходному значению? Да. Преобразовав формулу, получаем \(x = \mu + z\cdot\sigma\).