Z-점수란?
Z-점수는 표준점수라고도 하며, 특정 값(\(x\))이 분포의 평균(\(\mu\))에서 표준편차 몇 배만큼 위 또는 아래에 있는지를 나타냅니다. Z-점수가 양수이면 그 값은 평균보다 크고, 음수이면 평균보다 작다는 뜻입니다. Z-점수가 0이면 그 값이 평균과 정확히 같다는 의미입니다. Z-점수는 원래의 단위를 제거해 주기 때문에, 서로 전혀 다른 척도의 점수도 비교할 수 있게 해 줍니다. 예를 들어 시험 점수와 키 측정값처럼 단위가 다른 값도 같은 기준으로 견줄 수 있습니다.
계산기 사용 방법
세 개의 숫자를 입력하세요. 표준화하려는 원점수(\(x\)), 데이터의 평균(\(\mu\)), 그리고 표준편차(\(\sigma\))입니다. 입력하는 즉시 Z-점수가 계산되어 나타납니다. 단, 표준편차는 반드시 0보다 커야 합니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않기 때문입니다.
공식 풀이
Z-점수는 다음과 같이 계산합니다.
$$z = \frac{\text{Raw Score }(x) - \text{Mean }(\mu)}{\text{Std Dev }(\sigma)}$$먼저 값에서 평균을 빼서 편차를 구하고, 이를 표준편차로 나누어 그 편차를 '표준편차 단위'로 환산합니다. 예를 들어 \(z\)가 +1.5라면, 그 값이 평균보다 표준편차의 1.5배만큼 위에 있다는 뜻입니다.
예제 풀이
어떤 학생이 시험에서 85점을 받았고, 반 평균이 70점, 표준편차가 10점이라고 가정해 봅시다. 그러면
$$z = \frac{85 - 70}{10} = \frac{15}{10} = 1.5$$입니다. 이 학생은 평균보다 표준편차의 1.5배만큼 높은 점수를 받은 것으로, 정규분포를 가정하면 반 친구들 약 93%보다 높은 성적입니다.
자주 묻는 질문
Z-점수가 음수이면 무슨 뜻인가요? 그 값이 평균보다 낮다는 의미입니다. 예를 들어 \(z = -2\)는 평균보다 표준편차의 2배만큼 아래에 있다는 뜻입니다.
'좋은' Z-점수는 어느 정도인가요? 상황에 따라 다르지만, 정규분포에서는 값의 약 68%가 \(z = -1\)에서 \(z = +1\) 사이에 있고, 약 95%가 \(-2\)에서 \(+2\) 사이에 들어갑니다.
Z-점수를 다시 원점수로 되돌릴 수 있나요? 가능합니다. 공식을 변형하면 \(x = \mu + z \cdot \sigma\) 가 됩니다.
