Что такое среднее геометрическое?
Среднее геометрическое — это вид средней величины, при котором все значения набора данных перемножаются между собой, а затем из произведения извлекается корень n-й степени, где n — количество значений. В отличие от среднего арифметического (где числа складывают и делят), среднее геометрическое идеально подходит для данных, растущих по мультипликативному закону: доходности инвестиций, темпов роста населения, коэффициентов и скоростей изменения. Оно всегда меньше или равно среднему арифметическому и требует, чтобы все значения были положительными.
Как пользоваться калькулятором
Введите числа через запятую или пробел (например, 4, 9, 16) — калькулятор мгновенно покажет среднее геометрическое вместе с количеством использованных значений. Все числа должны быть больше нуля, поскольку умножение на ноль или отрицательное число делает среднее геометрическое неопределённым или мнимым.
Разбираем формулу
Среднее геометрическое n чисел вычисляется по формуле $$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$ Чтобы избежать переполнения при больших произведениях, инструмент выполняет расчёт в логарифмическом пространстве: суммирует натуральные логарифмы всех значений, делит результат на \(n\) и затем берёт экспоненту. Математически это то же самое, но численно гораздо устойчивее.
Пример расчёта
Возьмём числа 4, 9 и 16. Их произведение равно \(4 \times 9 \times 16 = 576\). Поскольку значений три, извлекаем кубический корень: \(576^{1/3} \approx\) 8,32034. Таким образом, среднее геометрическое составляет около 8,32 — заметно меньше, чем среднее арифметическое \((4 + 9 + 16) / 3 \approx 9{,}67\).
Частые вопросы
Когда лучше использовать среднее геометрическое, а не обычное среднее? Применяйте его для расчёта доходностей, процентов роста и коэффициентов — то есть там, где значения накапливаются и «сложно складываются» со временем.
Можно ли использовать отрицательные числа или ноль? Нет. Среднее геометрическое определено только для положительных чисел; любой ноль или отрицательное значение игнорируется либо делает результат недействительным.
Для двух чисел это просто квадратный корень? Да — среднее геометрическое двух чисел a и b равно \(\sqrt{a \cdot b}\).
