ما هو المتوسط الهندسي؟
المتوسط الهندسي نوعٌ من المتوسطات يقوم على ضرب جميع قيم مجموعة البيانات معًا ثم استخراج الجذر النوني لحاصل الضرب، حيث يمثّل \(n\) عدد القيم. وعلى خلاف المتوسط الحسابي (الذي يجمع القيم ثم يقسمها)، يُعدّ المتوسط الهندسي الخيار الأمثل للبيانات التي تنمو بشكل تضاعفي — مثل عوائد الاستثمار، ومعدلات النمو السكاني، والنِّسب، ومعدلات التغيّر. وهو دائمًا أصغر من أو يساوي المتوسط الحسابي، ويشترط أن تكون كل قيمة موجبة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أعدادك مفصولة بفواصل أو مسافات (على سبيل المثال 4، 9، 16)، وستعرض الحاسبة المتوسط الهندسي على الفور مع عدد القيم المستخدمة. يجب أن تكون جميع القيم أكبر من الصفر، إذ إن الضرب في الصفر أو في عدد سالب يجعل المتوسط الهندسي غير معرَّف أو تخيّليًّا.
شرح القانون
المتوسط الهندسي لعددٍ \(n\) من القيم هو $$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$ ولتفادي تجاوز السعة العددية عند التعامل مع حواصل ضرب كبيرة، تحسب هذه الأداة القيمة في الفضاء اللوغاريتمي: فهي تجمع اللوغاريتمات الطبيعية لكل قيمة، ثم تقسم الناتج على \(n\)، ثم تأخذ الدالة الأُسّية — وهي طريقة مطابقة رياضيًّا تمامًا لكنها أكثر استقرارًا عدديًّا.
مثال محلول
لنأخذ القيم 4 و9 و16. حاصل ضربها هو $$4 \times 9 \times 16 = 576$$ وبما أن لدينا 3 قيم، نأخذ الجذر التكعيبي: $$576^{1/3} \approx \mathbf{8.32034}$$ إذًا المتوسط الهندسي يساوي نحو 8.32 — وهو أقل بوضوح من المتوسط الحسابي الذي يبلغ \((4+9+16)/3 \approx 9.67\).
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم المتوسط الهندسي بدلًا من المتوسط الحسابي؟ استخدمه مع معدلات العائد، أو نِسب النمو المئوية، أو النِّسب التي تتراكم قيمها عبر الزمن.
هل يمكنني استخدام أعداد سالبة أو الصفر؟ لا. فالمتوسط الهندسي معرَّف فقط للأعداد الموجبة؛ وأي قيمة صفرية أو سالبة تُتجاهَل أو تُبطل صحة الناتج.
في حالة عددين، هل يكون مجرّد الجذر التربيعي؟ نعم — المتوسط الهندسي لعددين \(a\) و\(b\) هو \(\sqrt{a \cdot b}\).
