기하평균이란?
기하평균은 데이터에 포함된 모든 값을 곱한 뒤, 값의 개수 \(n\)으로 n제곱근을 취해 구하는 평균입니다. 값을 더한 뒤 나누는 산술평균과 달리, 기하평균은 곱셈적으로 변화하는 데이터에 적합합니다. 예를 들어 투자 수익률, 인구 증가율, 비율, 변화율 등이 대표적입니다. 기하평균은 언제나 산술평균보다 작거나 같으며, 계산하려는 모든 값이 반드시 양수여야 합니다.
계산기 사용 방법
숫자를 쉼표나 공백으로 구분해 입력하세요(예: 4, 9, 16). 그러면 기하평균과 함께 사용된 값의 개수가 즉시 표시됩니다. 0이나 음수를 곱하면 기하평균이 정의되지 않거나 허수가 되므로, 입력하는 모든 값은 0보다 커야 합니다.
공식 풀이
\(n\)개 숫자의 기하평균은 다음과 같이 구합니다.
$$\text{GM} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$값이 많아 곱이 지나치게 커지는 오버플로를 막기 위해, 이 계산기는 로그 공간에서 계산합니다. 즉, 각 값의 자연로그를 모두 더한 뒤 \(n\)으로 나누고 다시 지수 함수를 적용하는 방식인데, 수학적으로는 완전히 동일하면서도 수치적으로 훨씬 안정적입니다.
예제 풀이
값 4, 9, 16을 예로 들어 보겠습니다. 이들의 곱은 다음과 같습니다.
$$4 \times 9 \times 16 = 576$$값이 3개이므로 세제곱근을 취하면
$$576^{\frac{1}{3}} \approx 8.32034$$가 됩니다. 따라서 기하평균은 약 8.32로, 산술평균인 \(\frac{4+9+16}{3} \approx 9.67\)보다 눈에 띄게 낮습니다.
자주 묻는 질문
일반 평균 대신 기하평균은 언제 써야 하나요? 수익률, 성장률(%), 시간에 따라 복리로 누적되는 비율을 다룰 때 사용하면 좋습니다.
음수나 0을 입력해도 되나요? 안 됩니다. 기하평균은 양수에 대해서만 정의됩니다. 0이나 음수가 있으면 무시되거나 결과 자체가 무효가 됩니다.
값이 두 개일 때는 그냥 제곱근인가요? 맞습니다. 두 수 \(a\)와 \(b\)의 기하평균은 \(\sqrt{a \cdot b}\)입니다.
