Karmaşık sayının modülü nedir?
Bir karmaşık sayı \(a + bi\) biçiminde yazılır; burada \(a\) gerçek (reel) kısmı, \(b\) ise sanal (imajiner) kısmı temsil eder. Modül (mutlak değer ya da büyüklük olarak da bilinir), karmaşık düzlemde başlangıç noktasından \((a, b)\) noktasına olan uzaklıktır. Bu hesaplama aracı söz konusu uzaklığı bulur ve aynı zamanda sayının argümanını (açısını) da verir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Karmaşık sayınızın gerçek kısmı \(a\) ile sanal kısmı \(b\) değerini girin. Araç anında \(|a + bi|\) sonucunu, hesaplamaya giren \(a^2\) ve \(b^2\) kare bileşenlerini ve argümanı hem radyan hem derece cinsinden gösterir.
Formülün açıklaması
Modül şu formülle hesaplanır:
$$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$Bu, Pisagor teoreminin doğrudan bir uygulamasıdır: \(a\) ile \(b\) bir dik üçgenin iki dik kenarını oluşturur, modül ise hipotenüstür. Her iki terim de karesi alındığı için sonuç her zaman negatif değildir. Argüman ise \(\operatorname{atan2}(b, a)\) ile bulunur; bu fonksiyon tüm bölgeleri (çeyrekleri) doğru biçimde ele alır.
Çözümlü örnek
\(3 + 4i\) karmaşık sayısı için \(a^2 = 9\) ve \(b^2 = 16\) olur. Bunları toplarsak \(25\) elde ederiz, \(25\)'in karekökü ise \(5\)'tir. Dolayısıyla:
$$|3 + 4i| = 5$$Argüman ise \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radyandır; yani yaklaşık \(53{,}13^\circ\).
Sık Kullanılan Kompleks Sayılar ve Bunların Modülü
Sık kullanılan kompleks sayılar için modüller ve değişkenler. Değişkenler \(\operatorname{atan2}(b,a)\) fonksiyonunun ana değerini kullanır, \((-180^\circ, 180^\circ]\) aralığında.
| \(a+bi\) | Modulus \(|a+bi|\) | Değişken (radyan) | Değişken (derece) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (tanımsız) | 0° (tanımsız) |
Not: \(0+0i\) değişkeni tanımsızdır çünkü nokta orijinde yer almaktadır; çoğu uygulamalar kural gereği 0 döndürür.
Temel Terimler
- Kompleks sayı
- \(a + bi\) biçiminde bir sayı, burada \(a\) ve \(b\) reel sayılar ve \(i\) \(i^2 = -1\) koşulunu sağlayan sanal birimdir.
- Reel kısım (a)
- \(a+bi\) ifadesindeki \(a\) bileşeni, kompleks düzlemin yatay (reel) ekseninde yer almaktadır.
- Sanal kısım (b)
- \(a+bi\) ifadesinde sanal birim öncesindeki reel katsayı \(b\); dikey (sanal) eksen boyunca yer almaktadır. Sanal kısmın \(bi\) değil, \(b\) sayısı olduğunu unutmayın.
- Modulus / mutlak değer
- Kompleks düzlemde orijinden \((a,b)\) noktasına olan mesafe, \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\) biçiminde yazılır. Her zaman negatif olmayan bir değerdir.
- Değişken
- Pozitif reel eksen ile orijinden \((a,b)\) noktasına çizilen doğru arasındaki açı \(\theta\), saat yönünün tersine ölçülür. Modulus ile birleştirildiğinde polar form \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) elde edilir.
- Kompleks düzlem
- İki boyutlu bir düzlem (aynı zamanda Argand diyagramı olarak adlandırılır) ve burada yatay eksen reel kısmı, dikey eksen sanal kısmı temsil eder, her bir kompleks sayının bir nokta olarak çizilmesini sağlar.
- atan2 fonksiyonu
- İki değişkenli bir arktanjant, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), dört kadranda da doğru açı döndürür (\((-\pi, \pi]\) aralığında). Basit \(\arctan(b/a)\) ünsüne göre, açıyı doğru kadrana yerleştirmek için hem \(a\) hem de \(b\) işaretlerini kullanır.
Sıkça Sorulan Sorular
Modül negatif olabilir mi? Hayır. Karelerin toplamının karekökü olduğu için modül her zaman sıfır ya da pozitiftir.
Hem a hem b sıfırsa ne olur? Bu durumda modül \(0\) olur ve argüman geleneksel olarak \(0\) kabul edilir.
Modül ile argüman arasındaki fark nedir? Modül, sayının başlangıç noktasından ne kadar uzakta olduğunu; argüman ise pozitif reel eksene göre yönünü (açısını) gösterir.
