Binom olasılığı nedir?
Binom olasılığı, sabit sayıda n bağımsız denemede tam olarak k başarı elde etme şansını verir; burada her deneme aynı p olasılığıyla başarılı olur. Aynı koşullar altında tekrarlanan her "evet/hayır" türü deney için geçerlidir: yazı-tura atışları, serbest atış denemeleri, üretim hattındaki kusurlu ürünler ya da anket yanıtları gibi.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Deneme sayısını (\(n\)), olasılığını öğrenmek istediğiniz başarı sayısını (\(k\)) ve her deneme için başarı olasılığını (\(p\)) 0 ile 1 arasında bir ondalık sayı olarak girin. Araç, tam olasılık \(P(X=k)\) değerini, aynı değeri yüzde olarak ve hesaplamada kullanılan binom katsayısı \(C(n,k)\)'yı döndürür.
Formülün açıklaması
$$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ formülü üç bölümden oluşur. \(C(n,k)\), \(n\) deneme içinde \(k\) başarının kaç farklı biçimde dizilebileceğini sayar. \(p^{k}\) terimi, bu \(k\) başarının gerçekleşme olasılığıdır; \(\left(1-p\right)^{n-k}\) ise geri kalan \(n-k\) denemenin tamamının başarısız olma olasılığıdır. Bu üç değer çarpıldığında, o belirli başarı sayısı için toplam olasılık elde edilir.
Çözümlü örnek
Hilesiz bir parayı 10 kez atalım (\(n=10\), \(p=0.5\)). Tam olarak 4 yazı gelme olasılığı (\(k=4\)) nedir? \(C(10,4) = 210\) olduğundan, $$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051$$ yani yaklaşık %20.51.
İki Terimli Olasılık El ile Nasıl Hesaplanır
Herhangi geçerli girdiler için \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) değerini hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyin.
- \(k \le n\) doğrulayın. Başarı sayısı \(k\) deneme sayısını \(n\) aşamaz ve her ikisi de negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Eğer \(k > n\) ise olasılık 0'dır. Ayrıca \(0 \le p \le 1\) olduğunu doğrulayın.
- İki terimli katsayısını hesaplayın \(\binom{n}{k}\). \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) formülünü kullanın. Bu, \(n\) deneme arasında \(k\) başarıyı düzenlemenin farklı yollarının sayısını sayar.
- \(p\) sayısını \(k\) kuvvetine yükseltin. \(p^{k}\) hesaplayın, bu da \(k\) spesifik başarının meydana gelme olasılığıdır.
- \((1-p)\) sayısını \(n-k\) kuvvetine yükseltin. \((1-p)^{n-k}\) hesaplayın, bu da kalan \(n-k\) denemenin tümünün başarısız olma olasılığıdır. \(q = 1-p\) olduğunu hatırlayın.
- Üç faktörü de çarpın. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). Sonuç 0 ile 1 arasında bir olasılıktır.
- Yüzdeye dönüştürün (isteğe bağlı). Olasılığı 100 ile çarparak yüzde olarak ifade edin, ör. \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
Kontrol edilen örnek: \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\) için: \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\), bu nedenle \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (%31.25).
Temel Terimler ve Değişkenler
| Sembol | Ad | Anlam |
|---|---|---|
| \(n\) | Deneme sayısı | Sabit toplam bağımsız deney veya deneme sayısı. |
| \(k\) | Başarı sayısı | Olasılığını istediğiniz başarılı sonuçların tam sayısı; \(0 \le k \le n\) koşulunu sağlamalıdır. |
| \(p\) | Başarı olasılığı | Herhangi bir tek denemenin başarı olasılığı; \(0 \le p \le 1\). |
| \(q\) | Başarısızlık olasılığı | Tek bir denemede başarısızlık olasılığı, \(q = 1 - p\). |
| \(\binom{n}{k}\) | İki terimli katsayısı | \(n\) deneme arasından \(k\) başarıyı seçmenin yol sayısı, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); "n'den k seç" olarak okunur. |
Dört İki Terimli Varsayım
İki terimli model yalnızca dört koşulun tümü geçerli olduğunda geçerlidir:
- Sabit deneme sayısı. \(n\) değeri önceden belirlenmiş olup değişmez.
- İki olası sonuç. Her deneme tam olarak iki sonuçtan birini verir, geleneksel olarak "başarı" ve "başarısızlık" olarak adlandırılır.
- Sabit olasılık. Başarı olasılığı \(p\) her denemede aynıdır.
- Bağımsız denemeler. Herhangi bir denemenin sonucu başka bir denemenin sonucunu etkilemez.
Bunlar geçerli olduğunda, başarı sayısı \(X\) iki terimli dağılımı izler, \(X \sim \text{İki Terimli}(n, p)\) şeklinde yazılır.
Sıkça sorulan sorular
\(p\) değerini ondalık mı yoksa yüzde olarak mı girmeliyim? Ondalık olarak girin: %25'lik bir şans 0.25 olarak yazılır.
\(k\), \(n\)'den büyükse ne olur? Bu imkânsızdır; deneme sayısından daha fazla başarı elde edilemez, dolayısıyla olasılık 0'dır.
\(P(X \le k)\) veya \(P(X \ge k)\) değerini nasıl bulurum? Bu araç tam bir değerin olasılığını verir. Birikimli olasılıklar için ilgili \(i\) aralığındaki \(P(X=i)\) değerlerini toplamanız gerekir.
