Máy Tính Tổng Cấp Số Cộng là gì?
Một cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng hơn (hoặc kém) số hạng liền trước một lượng cố định, gọi là công sai. Tổng của các số hạng trong cấp số cộng chính là điều mà công cụ này giúp bạn tính. Máy tính sẽ cộng n số hạng đầu tiên của dãy khi bạn nhập số hạng đầu, công sai và số lượng số hạng cần tính.
Cách sử dụng
Bạn hãy nhập số hạng đầu a₁, công sai d (dương nếu dãy tăng, âm nếu dãy giảm) và số số hạng n. Máy tính sẽ cho ra tổng Sₙ, số hạng cuối aₙ và xác nhận lại số lượng số hạng.
Giải thích công thức
Tổng được tính theo công thức:
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
Ý tưởng đằng sau công thức rất hay: nếu ghép số hạng đầu với số hạng cuối, ta luôn được cùng một tổng, và có tất cả \(n/2\) cặp như vậy. Vì số hạng cuối là \(a_n = a_1 + (n - 1)d\), nên ta cũng có một dạng tương đương: $$S_n = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(d = 3\) và \(n = 5\). Các số hạng lần lượt là 2, 5, 8, 11, 14. Áp dụng công thức: $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2{,}5 \cdot (4 + 12) = 2{,}5 \cdot 16 = \mathbf{40}$$ Cộng trực tiếp để kiểm tra: \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\). ✔
Các ví dụ đã giải chi tiết hơn
Hai dạng tương đương của công thức tính tổng chuỗi số học là:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{và}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$Dạng thứ hai rất tiện lợi khi bạn đã biết (hoặc tính được trước) số hạng cuối cùng \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Ví dụ 1 — Chuỗi giảm với d âm
Một chuỗi bắt đầu tại \(a_1 = 40\), giảm \(d = -3\) ở mỗi bước, và có \(n = 10\) số hạng.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$Tổng là 265. (Số hạng thứ 10 là \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\), vì vậy các số hạng chạy từ 40, 37, 34, … , 13.)
Ví dụ 2 — Trường hợp n lớn
Tính tổng \(n = 100\) số hạng đầu tiên của chuỗi với \(a_1 = 5\) và \(d = 4\).
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$Tổng là 20300.
Ví dụ 3 — Sử dụng dạng \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
Một chuỗi có \(a_1 = 7\), \(d = 5\), và \(n = 20\). Trước tiên tìm số hạng cuối cùng:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$Sau đó áp dụng dạng trung bình của hai điểm đầu và cuối:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$Tổng là 1090. Điều này khớp với dạng khai triển \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu d bằng 0 thì sao? Khi đó mọi số hạng đều bằng a₁, nên tổng đơn giản là \(n \times a_1\).
Công sai d có thể âm không? Hoàn toàn được. Công sai âm tạo ra một dãy giảm dần, và công thức vẫn cho kết quả chính xác.
Dãy số (cấp số) và tổng (chuỗi) khác nhau thế nào? Cấp số là danh sách các số được sắp xếp theo thứ tự; còn tổng (chuỗi) là kết quả khi cộng tất cả các số đó lại.
