Xác suất nhị thức là gì?
Xác suất nhị thức cho biết khả năng đạt được đúng k lần thành công trong một số n phép thử độc lập cố định, trong đó mỗi phép thử đều có cùng một xác suất thành công p. Nó áp dụng cho mọi thí nghiệm dạng "có/không" được lặp lại trong cùng điều kiện — như tung đồng xu, ném phạt rổ, kiểm tra sản phẩm lỗi trên dây chuyền, hay câu trả lời trong một cuộc khảo sát.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số phép thử (n), số lần thành công mà bạn muốn tính xác suất (k), và xác suất thành công của mỗi phép thử (p) dưới dạng số thập phân từ 0 đến 1. Máy tính sẽ trả về xác suất chính xác \(P(X=k)\), cùng giá trị đó dưới dạng phần trăm, và hệ số nhị thức \(C(n,k)\) được dùng trong phép tính.
Giải thích công thức
Công thức $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ gồm ba phần. \(C(n,k)\) đếm xem có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau của k lần thành công trong n phép thử. Số hạng \(p^{k}\) là xác suất để k lần thành công đó xảy ra, còn \(\left(1-p\right)^{n-k}\) là xác suất để n−k phép thử còn lại đều thất bại. Nhân ba phần này lại với nhau ta được tổng xác suất cho đúng số lần thành công đó.
Ví dụ minh họa
Tung một đồng xu cân đối 10 lần (n=10, p=0,5). Xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa (k=4) là bao nhiêu? Ta có \(C(10,4) = 210\), nên $$P = 210 \times 0{,}5^{4} \times 0{,}5^{6} = 210 \times 0{,}5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0{,}2051,$$ tức khoảng 20,51%.
Cách Tính Xác Suất Nhị Thức Bằng Tay
Làm theo các bước dưới đây để tính \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) cho bất kỳ đầu vào hợp lệ nào.
- Xác minh \(k \le n\). Số lần thành công \(k\) không thể vượt quá số lần thử \(n\), và cả hai đều phải là số nguyên không âm. Nếu \(k > n\), xác suất bằng 0. Cũng xác nhận \(0 \le p \le 1\).
- Tính hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\). Sử dụng \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Điều này đếm số cách riêng biệt để sắp xếp \(k\) lần thành công trong số \(n\) lần thử.
- Nâng \(p\) lên lũy thừa \(k\). Tính \(p^{k}\), xác suất của \(k\) lần thành công cụ thể xảy ra.
- Nâng \((1-p)\) lên lũy thừa \(n-k\). Tính \((1-p)^{n-k}\), xác suất của \(n-k\) lần thử còn lại đều là thất bại. Nhớ rằng \(q = 1-p\).
- Nhân ba thừa số lại với nhau. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). Kết quả là một xác suất từ 0 đến 1.
- Chuyển đổi thành phần trăm (tùy chọn). Nhân xác suất với 100 để biểu thị dưới dạng phần trăm, ví dụ \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
Kiểm tra tính toán: với \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\): \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\), vì vậy \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (31.25%).
Các Thuật Ngữ và Biến Chính
| Ký hiệu | Tên gọi | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| \(n\) | Số lần thử | Số lượng thí nghiệm hoặc nỗ lực độc lập được xác định cố định. |
| \(k\) | Số lần thành công | Số đếm chính xác của các kết quả thành công mà bạn muốn tìm xác suất; phải thỏa mãn \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) | Xác suất thành công | Xác suất mà bất kỳ lần thử nào là thành công; \(0 \le p \le 1\). |
| \(q\) | Xác suất thất bại | Xác suất thất bại trong một lần thử, \(q = 1 - p\). |
| \(\binom{n}{k}\) | Hệ số nhị thức | Số cách để chọn \(k\) lần thành công từ \(n\) lần thử, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); đọc là "n chọn k." |
Bốn Giả Định của Nhị Thức
Mô hình nhị thức chỉ hợp lệ khi cả bốn điều kiện được thỏa mãn:
- Số lần thử cố định. Giá trị của \(n\) được đặt trước và không thay đổi.
- Hai kết quả có thể. Mỗi lần thử dẫn đến chính xác một trong hai kết quả, thường được gọi là "thành công" và "thất bại."
- Xác suất hằng số. Xác suất thành công \(p\) là như nhau trên mỗi lần thử.
- Các lần thử độc lập. Kết quả của bất kỳ lần thử nào không ảnh hưởng đến kết quả của bất kỳ lần thử nào khác.
Khi những điều này được giữ, số đếm lần thành công \(X\) tuân theo phân phối nhị thức, được viết là \(X \sim \text{Nhị thức}(n, p)\).
Câu hỏi thường gặp
Tôi nên nhập p dưới dạng số thập phân hay phần trăm? Hãy dùng số thập phân: khả năng 25% được nhập là 0,25.
Nếu k lớn hơn n thì sao? Điều đó là không thể — không thể có số lần thành công nhiều hơn số phép thử — nên xác suất bằng 0.
Làm sao để tính \(P(X \le k)\) hoặc \(P(X \ge k)\)? Công cụ này tính xác suất cho một giá trị chính xác. Với xác suất tích lũy, bạn hãy cộng \(P(X=i)\) trên toàn bộ khoảng giá trị i tương ứng.
