什么是二项分布概率？
二项分布概率指的是：在固定的 n 次独立试验中，每次试验成功的概率都相同（记为 p），恰好出现 k 次成功的可能性有多大。只要是在相同条件下重复进行的"是/否"二选一试验，它都适用——比如抛硬币、投篮命中、流水线上的次品检验，或是问卷调查的回答。
如何使用本计算器
分别输入试验次数（n）、你想求概率的成功次数（k），以及单次试验的成功概率（p，用 0 到 1 之间的小数表示）。计算器会给出精确概率 \(P(X=k)\)、对应的百分比，以及计算过程中用到的二项式系数 \(C(n,k)\)。
公式详解
公式 $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ 由三部分组成。\(C(n,k)\) 表示在 \(n\) 次试验中安排 \(k\) 次成功，一共有多少种不同的排列方式；\(p^{k}\) 是这 \(k\) 次都成功的概率；\((1-p)^{n-k}\) 则是剩下 \(n-k\) 次试验全部失败的概率。三者相乘，就得到恰好出现这个成功次数的总概率。
例题演示
抛一枚均匀硬币 10 次（\(n=10\)，\(p=0.5\)），恰好出现 4 次正面（\(k=4\)）的概率是多少？因为 \(C(10,4) = 210\)，所以 $$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051$$ 也就是约 20.51%。
如何手工计算二项概率
按照以下步骤计算任何有效输入的 \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\)。
- 验证 \(k \le n\)。 成功次数 \(k\) 不能超过试验次数 \(n\)，两者都必须是非负整数。如果 \(k > n\)，概率为 0。还要确认 \(0 \le p \le 1\)。
- 计算二项系数 \(\binom{n}{k}\)。 使用 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。这计算在 \(n\) 次试验中安排 \(k\) 次成功的不同方式的数量。
- 将 \(p\) 提升到 \(k\) 次方。 计算 \(p^{k}\)，即 \(k\) 次特定成功发生的概率。
- 将 \((1-p)\) 提升到 \(n-k\) 次方。 计算 \((1-p)^{n-k}\)，即剩余 \(n-k\) 次试验全部失败的概率。回忆 \(q = 1-p\)。
- 将三个因子相乘。 \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\)。结果是 0 到 1 之间的概率。
- 转换为百分比（可选）。 将概率乘以 100 以百分比形式表示，例如 \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\)。
验证示例：对于 \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\)：\(\binom{5}{3}=10\)，\(0.5^{3}=0.125\)，\(0.5^{2}=0.25\)，因此 \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125（31.25%）。
关键术语和变量
| 符号 | 名称 | 含义 |
|---|---|---|
| \(n\) | 试验次数 | 固定的独立实验或尝试的总数。 |
| \(k\) | 成功次数 | 您想要的成功结果的精确计数；必须满足 \(0 \le k \le n\)。 |
| \(p\) | 成功概率 | 任何单次试验成功的概率；\(0 \le p \le 1\)。 |
| \(q\) | 失败概率 | 单次试验失败的概率，\(q = 1 - p\)。 |
| \(\binom{n}{k}\) | 二项系数 | 从 \(n\) 次试验中选择 \(k\) 次成功的方式数，\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)；读作"n 选 k"。 |
四个二项假设
二项模型仅在以下四个条件全部成立时有效：
- 试验次数固定。 值 \(n\) 是事先设定的，不会改变。
- 两种可能的结果。 每次试验恰好产生两种结果之一，通常标记为"成功"和"失败"。
- 概率恒定。 成功概率 \(p\) 在每次试验中都是相同的。
- 试验独立。 任何一次试验的结果不影响任何其他试验的结果。
当这些条件成立时，成功的次数 \(X\) 遵循二项分布，记作 \(X \sim \text{B}(n, p)\)。
常见问题
p 要填小数还是百分比？请填小数：例如 25% 的概率，应输入 0.25。
如果 k 大于 n 会怎样？这种情况不可能发生——成功次数不可能多于试验次数——因此概率为 0。
怎样求 \(P(X \le k)\) 或 \(P(X \ge k)\)？本工具计算的是某个确切取值的概率。如果要求累积概率，需要把相应区间内每个 \(i\) 对应的 \(P(X=i)\) 逐项相加。
