残差计算器

输入计算

观测值 (y)

预测值 (ŷ)

结果

残差 (y − ŷ)

2

观测值减预测值

绝对残差	2
残差平方	4
百分比误差	20%

什么是残差？

残差是指真实观测值与模型（或回归直线）预测值之间的差距，用来衡量某一个数据点上预测偏离实际的程度。残差为正，说明模型预测偏低（真实值更高）；残差为负，则说明模型预测偏高。残差是各种模型拟合方法的核心，例如最小二乘法（OLS）的目标就是让残差平方和达到最小。

残差是观测点与回归线之间的垂直距离。

如何使用本计算器

请输入观测值（y），也就是实际测量得到的真实数据点；再输入预测值（ŷ），即来自回归直线或模型的估计结果。计算器会返回残差，并同时给出它的绝对值、平方值，以及相对于观测值的百分比误差。

公式详解

残差的定义非常简单：

$$e = \text{Observed }(y) - \text{Predicted }(\hat{y})$$

其中 \(y\) 是观测值，\(\hat{y}\)（读作"y-hat"）是预测值。残差平方为 \(e^2\)，百分比误差为 \((e / y) \times 100\)，表示误差相对于观测量的占比。

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残差 = 观测值（y）减去预测值（ŷ）。

实例演示

假设某回归模型预测一套房子的价格为 \(\hat{y} = 320{,}000\)，但这套房子实际成交价为 \(y = 350{,}000\)。那么残差就是 $$350{,}000 - 320{,}000 = 30{,}000$$绝对残差为 30,000，残差平方为 900,000,000，百分比误差为 \((30{,}000 / 350{,}000) \times 100 \approx 8.57\%\)。由于残差为正，说明模型低估了房价。

常见问题

残差等于零意味着什么？说明预测完全准确——观测值与预测值完全一致。

为什么要对残差取平方？取平方既能去掉正负号，又能对较大的误差施加更重的"惩罚"，这正是最小二乘回归要最小化残差平方和的原因。

残差和误差是一回事吗？两者关系密切，但并不完全相同。"误差"通常指与真实（未知）总体值的偏差，而"残差"指的是与拟合模型预测值之间的偏差。