ما الذي تقوم به حاسبة الأعداد الثنائية
تتيح لك هذه الحاسبة إجراء العمليات الحسابية على عددين ثنائيين (أي أعداد مكتوبة بالأساس 2 باستخدام الرقمين 0 و1 فقط). كل ما عليك هو إدخال قيمتين ثنائيتين، واختيار إحدى العمليات الأربع — جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة — لتعرض لك الأداة الناتج بالنظام الثنائي إلى جانب ما يقابله في النظام العشري، مع شرح واضح لخطوات الحساب.
حقول الإدخال
- العدد الثنائي الأول – المُعامِل الأيسر، مثل
1010. - العملية – اختر الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.
- العدد الثنائي الثاني – المُعامِل الأيمن، مثل
11.
يجب أن يحتوي كل حقل على الرقمين 0 و1 فقط. وفي حال وجود أي رمز آخر في أحد الحقلين، تعرض الحاسبة رسالة "إدخال ثنائي غير صالح" بدلاً من النتيجة.
كيف تتم عملية الحساب
لا تجري الأداة العمليات الحسابية بِتًّا بِتّ داخليًا، بل تتبع ثلاث خطوات بسيطة:
- التحويل إلى النظام العشري: يُقرأ كل عدد ثنائي على أنه عدد صحيح بالأساس 2.
- تطبيق العملية: يُجمع العددان العشريان أو يُطرحان أو يُضربان أو يُقسمان قسمة صحيحة. وتعتمد القسمة على الأعداد الصحيحة (مع اقتطاع الباقي)، لذا يُهمل أي باقٍ، أما القسمة على صفر فتُرجِع رسالة "القسمة على صفر".
- التحويل مرة أخرى إلى النظام الثنائي: يُحوَّل الناتج من النظام العشري إلى سلسلة ثنائية لعرضها، مع عرض الناتج بالنظام العشري كذلك.
$$\text{Result}_2 = \left( \text{Binary}_1 \right)_2 + \left( \text{Binary}_2 \right)_2$$
$$\text{Result}_2 = \left( \text{Binary}_1 \right)_2 - \left( \text{Binary}_2 \right)_2$$
$$\text{Result}_2 = \left( \text{Binary}_1 \right)_2 \times \left( \text{Binary}_2 \right)_2$$
$$\text{Result}_2 = \left\lfloor \frac{\left( \text{Binary}_1 \right)_2}{\left( \text{Binary}_2 \right)_2} \right\rfloor$$
مثال محلول
لنفترض أن العدد الثنائي الأول = 1010، والعملية = الضرب، والعدد الثنائي الثاني = 11.
1010يساوي بالنظام العشري 10.11يساوي بالنظام العشري 3.- \(10 \times 3 = 30\).
- 30 عند تحويله إلى النظام الثنائي يصبح
11110.
وعليه تعرض الحاسبة الناتج 11110 (ثنائي) و30 (عشري).
جدول تحويل النظام الثنائي والعشري
في النظام الثنائي (الأساس 2)، يمثل كل رقم (بت) قوة من قوى اثنين. عند قراءة رقم ثنائي من اليمين إلى اليسار، قيم المواضع هي \(2^0=1,\ 2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ \dots\). للعثور على المكافئ العشري، أضف قيم المواضع حيثما يظهر الرقم 1.
القيم الشائعة
| ثنائي | عشري |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | 10 |
| 1011 | 11 |
| 1100 | 12 |
| 1101 | 13 |
| 1110 | 14 |
| 1111 | 15 |
قيم المواضع (قوى اثنين)
| ثنائي | القوة | الوزن العشري |
|---|---|---|
| 1 | \(2^0\) | 1 |
| 10 | \(2^1\) | 2 |
| 100 | \(2^2\) | 4 |
| 1000 | \(2^3\) | 8 |
| 10000 | \(2^4\) | 16 |
| 100000 | \(2^5\) | 32 |
| 1000000 | \(2^6\) | 64 |
| 10000000 | \(2^7\) | 128 |
| 100000000 | \(2^8\) | 256 |
أمثلة عملية إضافية
الجمع: 1011 + 110
حوّل كل عدد إلى النظام العشري، ثم أضفهما، ثم حوّل النتيجة إلى النظام الثنائي.
- \(1011_2 = 8+2+1 = 11_{10}\)
- \(110_2 = 4+2 = 6_{10}\)
- الجمع: \(11 + 6 = 17_{10}\)
- التحويل مرة أخرى: \(17_{10} = 16+1 = 10001_2\)
يؤكد جمع العمود هذا — إضافة \(1011 + 0110\) تنتج حملات إلى الأرقام الأعلى، مما يعطي 10001 (العدد العشري 17).
الطرح الذي ينتج عنه رقم سالب: 10 − 111
عندما يكون العدد الثاني أكبر، تكون النتيجة سالبة.
- \(10_2 = 2_{10}\)
- \(111_2 = 7_{10}\)
- الطرح: \(2 - 7 = -5_{10}\)
- حوّل المقدار مرة أخرى: \(5_{10} = 101_2\)، لذا الإجابة هي \(-101_2\)
نتيجة \(10 - 111\) هي -101 في النظام الثنائي (العدد العشري \(-5\)).
القسمة الصحيحة مع حذف الباقي: 111 ÷ 10
القسمة الصحيحة في النظام الثنائي تحتفظ بالحاصل الكامل فقط وتتجاهل الباقي.
- \(111_2 = 7_{10}\)
- \(10_2 = 2_{10}\)
- القسمة: \(7 \div 2 = 3\) والباقي \(1\)؛ الباقي \(1\) يُتجاهل
- حوّل الحاصل مرة أخرى: \(3_{10} = 11_2\)
لذا \(111 \div 10 = \)11 في النظام الثنائي (العدد العشري 3، الباقي 1 مهمل).
المصطلحات الأساسية الموضحة
- ثنائي (الأساس 2)
- نظام عددي يستخدم فقط الأرقام 0 و 1. كل موضع يمثل قوة من قوى اثنين، على عكس النظام العشري (الأساس 10) الذي يستخدم الأرقام 0–9.
- بت (بت)
- رقم ثنائي واحد — إما 0 أو 1. وهو أصغر وحدة بيانات في الحوسبة.
- البت الأكثر أهمية (MSB)
- الرقم الأيسر من رقم ثنائي؛ يحمل أكبر قيمة موضع وله التأثير الأكبر على حجم الرقم.
- البت الأقل أهمية (LSB)
- الرقم الأيمن، بقيمة موضع \(2^0=1\)؛ له التأثير الأصغر ويحدد ما إذا كان الرقم فردياً أم زوجياً.
- الحمل
- عندما يجمع بتان في عمود إلى 2 أو أكثر، يُنقل الفائض إلى العمود الأعلى التالي. في النظام الثنائي، \(1+1=10\)، لذا يظهر 0 في العمود و 1 يُنقل إلى اليسار.
- قيمة الموضع
- الوزن المخصص لكل موضع رقم، يساوي قوة من قوى اثنين: \(1, 2, 4, 8, 16, \dots\) من اليمين إلى اليسار.
- القسمة الصحيحة (المقتطعة)
- قسمة تعيد حاصل العدد الصحيح فقط وتتجاهل أي باقي. على سبيل المثال \(7 \div 2 = 3\)، مع حذف باقي 1.
- المكافئ العشري
- القيمة من الأساس 10 لرقم ثنائي، توجد بجمع قيم المواضع حيث يظهر الرقم 1 — على سبيل المثال \(1011_2 = 8+2+1 = 11_{10}\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث لباقي القسمة؟ تعتمد القسمة على الأعداد الصحيحة، لذا يُهمل الجزء الكسري. فمثلاً 111 (7) ÷ 10 (2) ينتج عنها 11 (3)، وليس 3.5.
هل يمكن أن أحصل على ناتج سالب؟ نعم. عند طرح عدد أكبر من عدد أصغر يكون الناتج العشري سالبًا، وينعكس ذلك في التمثيل الثنائي المعروض.
لماذا تظهر رسالة "إدخال ثنائي غير صالح"؟ لا تقبل الحقول سوى الرقمين 0 و1. أما المسافات أو الفواصل العشرية أو الأرقام من 2 إلى 9 فتؤدي إلى ظهور هذه الرسالة، لذا تحقق جيدًا مما أدخلته.
