ما هي مفارقة أعياد الميلاد؟
مفارقة أعياد الميلاد هي الحقيقة المدهشة التي تقول إنه في مجموعة من 23 شخصاً فقط يكون احتمال أن يتشارك اثنان منهم تاريخ الميلاد أكبر من 50%. يبدو هذا الأمر مخالفاً للحدس لأن الناس يتخيلون احتمال تطابق تاريخ ميلادهم هم تحديداً، لكن الحساب يأخذ في الاعتبار أي زوج متطابق، وعدد الأزواج الممكنة يزداد بسرعة كبيرة كلما كبر حجم المجموعة. هذه مسألة احتمالات بحتة وتنطبق في كل مكان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أصغر حجم للمجموعة ("حجم المجموعة من")، وأكبر حجم ("حجم المجموعة إلى")، ويمكنك اختيارياً تغيير عدد أيام السنة (365 افتراضياً، أو 366 لتضمين 29 فبراير). تبني الأداة جدولاً يتضمن صفاً لكل حجم مجموعة وتعرض احتمالين لكل صف: احتمال ألا يتطابق أي تاريخَي ميلاد، واحتمال أن يتطابق زوج واحد على الأقل. كما تخبرك بأول حجم مجموعة يصل عنده احتمال التطابق إلى 50%.
المعادلة
لنفترض أن \(D\) هو عدد أيام السنة. احتمال أن يكون لدى جميع الأشخاص الـ \(n\) تواريخ ميلاد مختلفة هو حاصل ضرب الأيام المتاحة المتناقصة: $$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$ أما احتمال تطابق زوج واحد على الأقل فهو ببساطة $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ نُجري الضرب خطوة بخطوة لتجنب المضروبات الضخمة، وبمجرد أن يتجاوز \(n\) العدد \(D\) يصبح احتمال عدم التطابق صفراً حتماً وفقاً لمبدأ الجِحار (مبدأ خانات الحمام).
مثال محلول
بأخذ \(D = 365\) و \(n = 23\)، فإن ضرب $$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365}$$ يعطي \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)، وبالتالي \(p(23) \approx 0.507297\)، أي ما يقارب 50.73% احتمال. أما عند \(n = 2\) فالاحتمال لا يتجاوز 0.27% فقط، وعند \(n = 50\) يرتفع إلى نحو 97.04%.
الحدود الشائعة: كم عدد الأشخاص لاحتمال معين؟
يفاجئ مفهوم عيد الميلاد المتناقض الناس لأن احتمالية وجود عيد ميلاد مشترك تنمو بسرعة أكبر بكثير مما تقترحه الحدس. الجدول أدناه يوضح أصغر حجم مجموعة \(n\) حيث يصل الاحتمال \(P(n)\) لوجود عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل لكل حد شائع، بافتراض \(D = 365\) يوماً والتوزيع المنتظم للأعياد (تجاهل السنوات الكبيسة والأنماط الموسمية للمواليد).
| الاحتمال المستهدف | حجم المجموعة \(n\) | القيمة الفعلية \(P(n)\) بهذا الحجم |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11.6% |
| 50% | 23 | 50.7% |
| 90% | 41 | 90.3% |
| 95% | 47 | 95.0% |
| 99% | 57 | 99.0% |
| 99.9% | 70 | 99.92% |
أشهر مرحلة فاصلة هي مجرد 23 شخصاً، وهو ما يكفي لجعل عيد الميلاد المشترك احتمالاً أرجح من العكس. لاحظ أن الاحتمالية تصعد بحدة عبر النطاق الأوسط — بالذهاب من فرصة 50% عند 23 شخصاً إلى احتمالية شبه مؤكدة بنسبة 99% عند 57 فقط — ثم تتسطح مع اقترابها من 100%، حيث أن كل شخص إضافي يضيف فرصاً أقل من التزاوج الجديدة نسبة إلى تلك الموجودة بالفعل.
الأسئلة الشائعة
لماذا يتجاوز 50% بهذه السرعة؟ لأن 23 شخصاً يكوّنون 253 زوجاً مختلفاً، وأي زوج من هذه الأزواج قد يتطابق.
هل تأخذ الحاسبة في الحسبان السنوات الكبيسة أو تركّز تواريخ الميلاد؟ لا. تفترض الحاسبة 365 (أو 366) تاريخ ميلاد متساوية الاحتمال؛ وأي تركّز فعلي لتواريخ الميلاد لن يؤدي إلا إلى رفع احتمال التطابق.
ماذا يحدث عند تجاوز 365 شخصاً؟ يصبح التطابق مؤكداً، أي أن \(p(n) = 1\).
