Que sont les indices de Miller ?
Les indices de Miller forment un triplet d'entiers \((h\,k\,l)\) utilisé en cristallographie pour décrire l'orientation d'un plan au sein d'un réseau cristallin. Ils offrent une notation compacte et sans dimension, indépendante de la taille réelle de la maille élémentaire. C'est ce qui les rend indispensables en diffraction des rayons X, en science des matériaux et en physique du solide.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez les intersections du plan avec les axes cristallographiques x, y et z, exprimées en unités des paramètres de maille a, b et c. Pour un plan parallèle à un axe (son intersection se trouve à l'infini), saisissez 0 : le calculateur l'interprète comme un indice nul. L'outil calcule ensuite les inverses, élimine les fractions et réduit le résultat au plus petit ensemble d'entiers possible.
La formule expliquée
La méthode se déroule en trois étapes :
$$(h\,k\,l) = \frac{m}{\gcd}\left(\frac{1}{\text{X intercept}}\;,\;\frac{1}{\text{Y intercept}}\;,\;\frac{1}{\text{Z intercept}}\right)$$1. Relever les intersections en unités de maille (par exemple 1, 2, 3).
2. Prendre les inverses \((1/1,\ 1/2,\ 1/3)\).
3. Éliminer les fractions en multipliant par le plus petit commun multiple des dénominateurs (\(\times 6 \to 6, 3, 2\)), puis réduire par tout facteur commun.
Les entiers obtenus \((6\,3\,2)\) sont les indices de Miller, notés entre parenthèses et sans virgules.
Exemple détaillé
Un plan coupe les axes en \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\). Les inverses valent \(1,\ 1/2,\ 1/3\). En multipliant le tout par 6, on obtient \(6, 3, 2\). Aucun facteur commun supérieur à 1 ne subsiste : les indices de Miller sont donc (6 3 2).
FAQ
Que signifie un indice égal à 0 ? Un indice nul signifie que le plan est parallèle à cet axe : son intersection se situe à l'infini, et \(1/\infty = 0\).
Que représente la barre au-dessus d'un chiffre ? Dans la notation complète, un indice négatif s'écrit avec une barre au-dessus (par exemple \(\bar{1}\)). Ce calculateur renvoie le signe négatif pour les plans qui coupent la direction négative de l'axe.
Les plans (1 1 1) et (2 2 2) sont-ils identiques ? La forme réduite \((1\,1\,1)\) décrit l'orientation du plan ; les indices sont toujours réduits à leur plus petit ensemble d'entiers.
