¿Qué son los índices de Miller?
Los índices de Miller son un conjunto de tres números enteros (h k l) que se utilizan en cristalografía para describir la orientación de un plano dentro de una red cristalina. Ofrecen una notación compacta y adimensional, independiente del tamaño real de la celda unidad, lo que los convierte en una herramienta imprescindible en el análisis por difracción de rayos X, la ciencia de materiales y la física del estado sólido.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las intersecciones que el plano forma con los ejes cristalográficos x, y y z, medidas en unidades de las constantes de red a, b y c. Si el plano es paralelo a un eje (su intersección se sitúa en el infinito), escribe 0: la calculadora lo interpretará como un índice igual a 0. A continuación, la herramienta calcula los recíprocos, elimina las fracciones y reduce el resultado al conjunto de enteros más pequeño posible.
La fórmula paso a paso
El procedimiento consta de tres pasos:
$$(h\,k\,l) = \frac{m}{\gcd}\left(\dfrac{1}{\text{X intercept}}\;,\;\dfrac{1}{\text{Y intercept}}\;,\;\dfrac{1}{\text{Z intercept}}\right)$$
1. Determina las intersecciones en unidades de red (por ejemplo, 1, 2, 3).
2. Calcula los recíprocos (\(1/1\), \(1/2\), \(1/3\)).
3. Elimina las fracciones multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(\times 6 \to 6, 3, 2\)) y divide por cualquier factor común.
Los enteros resultantes (6 3 2) son los índices de Miller, que se escriben entre paréntesis y sin comas.
Ejemplo resuelto
Un plano corta los ejes en \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\). Los recíprocos son \(1\), \(1/2\), \(1/3\). Al multiplicar todo por 6 se obtiene $$6,\;3,\;2.$$ No existe ningún factor común mayor que 1, de modo que los índices de Miller son (6 3 2).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un índice igual a 0? Un índice de 0 indica que el plano es paralelo a ese eje: su intersección se encuentra en el infinito y \(1/\infty = 0\).
¿Qué significa la barra sobre un número? En la notación completa, un índice negativo se escribe con una barra encima (por ejemplo, 1̄). Esta calculadora devuelve el signo negativo en los planos que cortan el eje en su dirección negativa.
¿Son (1 1 1) y (2 2 2) el mismo plano? La forma reducida (1 1 1) describe la orientación del plano; los índices siempre se reducen a su conjunto de enteros más pequeño.
