Калькулятор индексов Миллера

Введите расчет

Отрезок по X (в единицах a)

Отрезок по Y (в единицах b)

Отрезок по Z (в единицах c)

Введите отрезки, отсекаемые плоскостью на осях кристалла (в единицах решётки). Для плоскости, параллельной оси (отрезок в бесконечности → индекс 0), укажите большое число или 0.

Результатов

Индексы Миллера (h k l)

(6 3 2)

обратные величины отрезков, приведённые к наименьшим целым числам

h	6
k	3
l	2

Что такое индексы Миллера?

Индексы Миллера — это набор из трёх целых чисел (h k l), который используется в кристаллографии для описания ориентации плоскости в кристаллической решётке. Они дают компактную безразмерную запись, не зависящую от реальных размеров элементарной ячейки, поэтому незаменимы при анализе рентгеновской дифракции, в материаловедении и физике твёрдого тела.

Кристаллическая плоскость, пересекающая три кристаллографические оси в точках отсечения.

Как пользоваться калькулятором

Введите отрезки, которые плоскость отсекает на кристаллографических осях x, y и z, выраженные в единицах постоянных решётки a, b и c. Если плоскость идёт параллельно какой-либо оси (отрезок уходит в бесконечность), введите 0 — калькулятор примет это за индекс, равный 0. Затем инструмент берёт обратные величины, избавляется от дробей и приводит результат к наименьшему набору целых чисел.

Разбор формулы

Алгоритм состоит из трёх шагов:

$$(h\,k\,l) = \frac{m}{\gcd}\left(\dfrac{1}{\text{X intercept}}\;,\;\dfrac{1}{\text{Y intercept}}\;,\;\dfrac{1}{\text{Z intercept}}\right)$$

1. Определите отрезки в единицах решётки (например, 1, 2, 3).
2. Возьмите обратные величины (\(1/1\), \(1/2\), \(1/3\)).
3. Избавьтесь от дробей, умножив на наименьшее общее кратное знаменателей (\(\times 6 \to 6, 3, 2\)), и сократите на общий множитель, если он есть.

Полученные целые числа (6 3 2) и есть индексы Миллера; их записывают в круглых скобках без запятых.

Возьмите обратные величины отрезков, затем приведите к наименьшим целым числам (h k l).

Пример с решением

Плоскость отсекает на осях отрезки \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\). Обратные величины равны \(1\), \(1/2\), \(1/3\). После умножения на 6 получаем 6, 3, 2. Общего множителя больше 1 нет, поэтому индексы Миллера — (6 3 2).

Частые вопросы

Что означает индекс 0? Индекс 0 говорит о том, что плоскость параллельна данной оси: отрезок уходит в бесконечность, а \(1/\infty = 0\).

Что означает чёрточка над числом? В полной записи отрицательный индекс обозначают чёрточкой сверху (например, 1̄). Этот калькулятор выдаёт знак «минус» для плоскостей, пересекающих ось в отрицательном направлении.

Одна ли это плоскость — (1 1 1) и (2 2 2)? Сокращённая форма (1 1 1) описывает ориентацию плоскости; индексы всегда приводят к наименьшему набору целых чисел.