Qu'est-ce que le test du zéro rationnel ?
Le théorème des racines rationnelles (également appelé test du zéro rationnel) fournit l'ensemble des racines rationnelles possibles d'un polynôme à coefficients entiers. Si un polynôme admet un zéro rationnel \(p/q\) sous forme irréductible, alors \(p\) doit être un diviseur du terme constant et \(q\) un diviseur du coefficient dominant. Ce calculateur dresse la liste complète des candidats afin que vous puissiez tester chacun d'eux par division synthétique ou par substitution.
Comment l'utiliser
Saisissez le terme constant (a₀) et le coefficient dominant (aₙ) de votre polynôme. Le calculateur recherche tous les diviseurs entiers positifs de chacun, construit chaque fraction irréductible \(p/q\) et présente le résultat sous la forme \(\pm p/q\). Le nombre mis en avant compte tous les candidats distincts, y compris les signes plus et moins.
La formule expliquée
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{diviseurs du terme constant}}{\text{diviseurs du coefficient dominant}}$$ Les fractions identiques sont éliminées après réduction sous forme irréductible : ainsi \(2/2\) et \(1/1\) ne sont comptées qu'une seule fois. Chaque fraction unique génère deux candidats (une valeur positive et une valeur négative).
Exemple résolu
Pour \(2x^3 - x^2 - 6\), le terme constant vaut \(6\) (diviseurs \(1, 2, 3, 6\)) et le coefficient dominant vaut \(2\) (diviseurs \(1, 2\)). Les fractions irréductibles distinctes \(p/q\) sont : \(1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2\) — soit \(6\) magnitudes uniques. En tenant compte du \(\pm\), on obtient \(12\) zéros rationnels possibles : $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{3}{2}$$
FAQ
Le théorème garantit-il l'existence d'une racine rationnelle ? Non. Il se contente d'énumérer des candidats ; le polynôme peut très bien n'avoir aucune racine rationnelle.
Pourquoi utiliser les valeurs absolues des données saisies ? Seules les magnitudes des diviseurs comptent, et le \(\pm\) prend déjà le signe en charge.
Que se passe-t-il si le coefficient dominant vaut 1 ? Dans ce cas, \(q\) ne peut valoir que \(1\) ; les zéros possibles se réduisent donc à \(\pm\) les diviseurs du terme constant (c'est le théorème des racines entières).
