Калькулятор рациональных корней многочлена

Введите расчет

Свободный член (a₀)

Старший коэффициент (aₙ)

Результатов

Количество возможных рациональных корней

12

различных значений (с учётом знаков ±)

Возможные рациональные корни:
±1, ±1/2, ±2, ±3, ±3/2, ±6

Делители свободного члена (p)	4
Делители старшего коэффициента (q)	2

Что такое теорема о рациональных корнях?

Теорема о рациональных корнях (её также называют тестом на рациональные нули) позволяет найти все возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь \(p/q\) является корнем многочлена, то числитель \(p\) обязательно делит свободный член, а знаменатель \(q\) — старший коэффициент. Этот калькулятор сразу составляет полный список кандидатов в корни, чтобы вы могли проверить каждый из них с помощью схемы Горнера (деления многочленов) или прямой подстановки.

Как пользоваться калькулятором

Введите свободный член (a₀) и старший коэффициент (aₙ) вашего многочлена. Калькулятор найдёт все положительные целые делители каждого из них, составит все несократимые дроби \(p/q\) и выдаст результат в виде \(\pm p/q\). Итоговое число учитывает каждого отдельного кандидата вместе со знаками «плюс» и «минус».

Разбор формулы

Возможные корни:

$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{делители свободного члена}}{\text{делители старшего коэффициента}}$$

Повторяющиеся дроби после приведения к несократимому виду отбрасываются, поэтому \(2/2\) и \(1/1\) считаются один раз. Каждая уникальная дробь даёт двух кандидатов — положительное и отрицательное значение.

Реклама

Возможные рациональные корни находят, деля делители свободного члена (p) на делители старшего коэффициента (q).

Разобранный пример

Для многочлена \(2x^3 - x^2 - 6\) свободный член равен 6 (делители 1, 2, 3, 6), а старший коэффициент равен 2 (делители 1, 2). Различные несократимые дроби \(p/q\) таковы: \(1, 2, 3, 6, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2}\) — то есть 6 уникальных значений по модулю. С учётом знака \(\pm\) получаем 12 возможных рациональных корней: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{3}{2}\).

Каждого кандидата ±p/q подставляют в многочлен; те, что дают ноль, и есть рациональные корни.

Частые вопросы

Гарантирует ли теорема, что рациональный корень существует? Нет. Она лишь перечисляет кандидатов; у многочлена может вообще не быть рациональных корней.

Почему используются модули введённых значений? Важны только величины делителей, а знак уже учитывается символом \(\pm\).

Что если старший коэффициент равен 1? Тогда \(q\) может быть только 1, и возможными корнями становятся просто \(\pm\) делители свободного члена (это частный случай — теорема о целочисленных корнях).