유리근 판정이란?
유리근 정리(유리근 판정이라고도 합니다)는 정수 계수를 가진 다항식에서 나올 수 있는 모든 유리근을 알려 줍니다. 어떤 다항식이 기약분수 형태의 유리근 \(p/q\)를 가진다면, \(p\)는 반드시 상수항의 약수이고 \(q\)는 반드시 최고차항 계수의 약수입니다. 이 계산기는 가능한 근의 후보를 빠짐없이 정리해 주므로, 조립제법이나 대입을 통해 하나씩 검증할 수 있습니다.
사용 방법
다항식의 상수항(\(a_0\))과 최고차항 계수(\(a_n\))를 입력하세요. 계산기는 각 값의 양의 정수 약수를 모두 찾아 기약분수 \(p/q\)를 만들고, 이를 \(\pm p/q\) 형태로 보여 줍니다. 상단에 표시되는 개수는 부호(\(+\), \(-\))를 모두 포함한 서로 다른 후보의 총 개수입니다.
공식 풀이
가능한 근 = ±(상수항의 약수) / (최고차항 계수의 약수).
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{factors of }\text{Constant }(a_0)}{\text{factors of }\text{Leading }(a_n)}$$기약분수로 약분한 뒤 중복되는 분수는 제거하므로, \(2/2\)와 \(1/1\)은 한 번만 셉니다. 서로 다른 분수 하나마다 양수와 음수, 두 개의 후보가 만들어집니다.
예제 풀이
\(2x^3 - x^2 - 6\) 의 경우, 상수항은 \(6\)(약수 \(1, 2, 3, 6\))이고 최고차항 계수는 \(2\)(약수 \(1, 2\))입니다. 서로 다른 기약분수 \(p/q\)는 \(1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2\) 로 총 6개입니다. 여기에 \(\pm\) 부호를 적용하면 가능한 유리근은 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}\) 로 모두 12개가 됩니다.
자주 묻는 질문
이 정리가 유리근이 반드시 존재한다고 보장하나요? 아닙니다. 후보 목록만 알려 줄 뿐이며, 해당 다항식에 유리근이 하나도 없을 수도 있습니다.
입력값의 절댓값을 쓰는 이유는 무엇인가요? 약수에서는 크기(절댓값)만 의미가 있고, 부호는 이미 \(\pm\)로 처리되기 때문입니다.
최고차항 계수가 1이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(q\)는 1밖에 될 수 없으므로, 가능한 근은 상수항 약수의 \(\pm\) 값들뿐입니다(정수근 정리에 해당합니다).
