ما هو اختبار الأصفار النسبية؟
تمنحك نظرية الجذور النسبية (المعروفة أيضًا باسم اختبار الأصفار النسبية) كل جذر نسبي محتمل لكثير حدود ذي معاملات صحيحة. فإذا كان لكثير الحدود جذر نسبي \(p/q\) مكتوبًا في أبسط صورة، فإن \(p\) لا بد أن يكون عاملًا للحد الثابت، وأن يكون \(q\) عاملًا للمعامل الرئيسي. تبني هذه الحاسبة القائمة الكاملة للأصفار المرشّحة، حتى تتمكن من اختبار كل قيمة منها بالقسمة التركيبية أو بالتعويض المباشر.
كيفية الاستخدام
أدخِل الحد الثابت (\(a_0\)) والمعامل الرئيسي (\(a_n\)) لكثير الحدود لديك. تعمل الحاسبة على إيجاد جميع العوامل الصحيحة الموجبة لكل منهما، وتكوين كل كسر مختزل \(p/q\)، ثم تعرض كل ناتج على صورة \(\pm p/q\). ويُمثّل الرقم الرئيسي عدد جميع القيم المرشّحة المتمايزة بما في ذلك الإشارتان الموجبة والسالبة.
شرح الصيغة
الأصفار المحتملة:
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{factors of }\text{Constant }(a_0)}{\text{factors of }\text{Leading }(a_n)}$$تُحذف الكسور المكرَّرة بعد اختزالها إلى أبسط صورة، فمثلًا يُحسب \(2/2\) و\(1/1\) مرة واحدة فقط. ويُسهم كل كسر فريد بقيمتين مرشّحتين (قيمة موجبة وأخرى سالبة).
مثال محلول
في كثير الحدود \(2x^3 - x^2 - 6\)، يكون الحد الثابت هو \(6\) (وعوامله \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(6\)) والمعامل الرئيسي هو \(2\) (وعوامله \(1\)، \(2\)). أما الكسور المختزلة المتمايزة \(p/q\) فهي: \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(6\)، \(1/2\)، \(3/2\) — أي \(6\) مقادير فريدة. وبأخذ الإشارة \(\pm\) في الحسبان نحصل على \(12\) صفرًا نسبيًا محتملًا: \(\pm 1\)، \(\pm 2\)، \(\pm 3\)، \(\pm 6\)، \(\pm 1/2\)، \(\pm 3/2\).
الأسئلة الشائعة
هل تضمن النظرية وجود جذر نسبي؟ لا. فهي تعرض القيم المرشّحة فقط، وقد لا يكون لكثير الحدود أي جذر نسبي على الإطلاق.
لماذا تُستخدم القيم المطلقة للمدخلات؟ لأن المقادير وحدها هي ما يهم في العوامل، والإشارة \(\pm\) تتكفل بالإشارة من الأساس.
ماذا لو كان المعامل الرئيسي يساوي 1؟ عندها لا يمكن أن يكون \(q\) إلا \(1\)، فتكون الأصفار المحتملة هي ببساطة \(\pm\) عوامل الحد الثابت (وهي نظرية الجذور الصحيحة).
