परिमेय मूल परीक्षण क्या है?
परिमेय मूल प्रमेय (जिसे Rational Zero Test भी कहते हैं) पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद के सभी संभावित परिमेय मूल बता देता है। यदि किसी बहुपद का कोई परिमेय मूल \(p/q\) अपने न्यूनतम रूप में मौजूद है, तो \(p\) अचर पद का गुणनखंड होगा और \(q\) अग्रणी गुणांक का गुणनखंड होगा। यह कैलकुलेटर संभावित मूलों की पूरी सूची तैयार कर देता है, ताकि आप हर एक को संश्लिष्ट विभाजन (synthetic division) या प्रतिस्थापन द्वारा जाँच सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने बहुपद का अचर पद (\(a_0\)) और अग्रणी गुणांक (\(a_n\)) दर्ज करें। कैलकुलेटर दोनों के सभी धनात्मक पूर्णांक गुणनखंड निकालता है, हर संभावित न्यूनतम भिन्न \(p/q\) बनाता है, और उसे \(\pm p/q\) के रूप में दिखाता है। मुख्य संख्या धन और ऋण दोनों चिह्नों सहित हर अलग-अलग संभावित मूल को गिनती है।
सूत्र की व्याख्या
संभावित मूल:
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{factors of }\text{Constant }(a_0)}{\text{factors of }\text{Leading }(a_n)}$$
भिन्नों को न्यूनतम रूप में लाने के बाद दोहराव वाली भिन्नें हटा दी जाती हैं, इसलिए \(2/2\) और \(1/1\) को एक ही बार गिना जाता है। हर अद्वितीय भिन्न दो संभावित मूल देती है — एक धनात्मक और एक ऋणात्मक।
हल किया गया उदाहरण
\(2x^3 - x^2 - 6\) के लिए, अचर पद \(6\) है (गुणनखंड \(1, 2, 3, 6\)) और अग्रणी गुणांक \(2\) है (गुणनखंड \(1, 2\))। अलग-अलग न्यूनतम भिन्नें \(p/q\) हैं: \(1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2\) — यानी \(6\) अद्वितीय मान। \(\pm\) सहित गिनने पर \(12\) संभावित परिमेय मूल मिलते हैं: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{3}{2}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह प्रमेय गारंटी देता है कि कोई परिमेय मूल मौजूद है? नहीं। यह केवल संभावित मूलों की सूची देता है; हो सकता है कि बहुपद का कोई भी परिमेय मूल न हो।
इनपुट के निरपेक्ष मान (absolute value) ही क्यों लिए जाते हैं? केवल गुणनखंडों के परिमाण मायने रखते हैं, और चिह्न का ध्यान तो \(\pm\) पहले से ही रख लेता है।
अगर अग्रणी गुणांक \(1\) हो तो क्या होगा? तब \(q\) केवल \(1\) हो सकता है, इसलिए संभावित मूल केवल अचर पद के गुणनखंडों के \(\pm\) रूप होते हैं (यही पूर्णांक मूल प्रमेय यानी Integer Root Theorem है)।
