有理ゼロ判定とは？
有理根定理（有理ゼロ判定とも呼ばれます）は、整数係数の多項式について、根になりうる有理数をすべて求めるための定理です。多項式が既約分数 \(p/q\) の形の有理数の根を持つとき、\(p\) は必ず定数項の約数であり、\(q\) は必ず最高次係数の約数になります。この計算ツールは、根の候補となる値をもれなくリストアップしてくれるので、あとは組立除法や代入によって一つずつ確かめるだけです。
使い方
多項式の定数項（\(a_0\)）と最高次係数（\(a_n\)）を入力してください。ツールがそれぞれの正の約数をすべて求め、約分した分数 \(p/q\) を作り、\(\pm p/q\) の形で表示します。一番上に表示される数値は、プラス・マイナス両方を含めた、互いに異なる候補の総数です。
計算式の解説
考えられる根：
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{factors of }\text{Constant }(a_0)}{\text{factors of }\text{Leading }(a_n)}$$各分数は既約分数に直したうえで重複を取り除くため、\(2/2\) と \(1/1\) は同じものとして 1 回だけ数えられます。そして、それぞれの異なる分数につき、正の値と負の値の 2 つの候補が生まれます。
計算例
\(2x^3 - x^2 - 6\) の場合、定数項は 6（約数は 1, 2, 3, 6）、最高次係数は 2（約数は 1, 2）です。約分後に得られる互いに異なる分数 \(p/q\) は、\(1, 2, 3, 6, 1/2, 3/2\) の 6 種類になります。これに \(\pm\) を付けると、考えられる有理根は全部で 12 個です：\(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 1/2, \pm 3/2\)。
よくある質問
この定理は有理根が必ず存在することを保証してくれますか？ いいえ。あくまで候補を挙げるだけで、その多項式に有理根が一つも存在しない場合もあります。
なぜ入力値の絶対値を使うのですか？ 重要なのは約数の大きさ（絶対値）だけであり、符号については \(\pm\) ですでに考慮されているためです。
最高次係数が 1 のときはどうなりますか？ その場合 \(q\) は 1 しかとれないため、考えられる根は定数項の約数に \(\pm\) を付けたものだけになります（これは整数根定理と呼ばれます）。
